Quadrilatère cyclique - nouveau critère ?

gipsyc

Bonjour
Ci-dessous une proposition de critère de quadrilatère cyclique BPQC complété par le point A = (BP) ∩ (CQ)
... présentée (en anglais) dans un triangle ABC

avec une A-cévienne interne [AD] sécante en un point S quelconque d'un segment [PQ] antiparallèle au côté [BC] par rapport au triangle ABC.
[Notation « à l'ancienne » non orientée]

D'autres formules de même contexte

Cordialement
Jean-Pol Coulon

Rescassol

Bonjour,

Triangles semblables et puissance d'un point par rapport à un cercle.

Cordialement,
Rescassol

gipsyc

Merci Rescassol
La difficulté n'est en effet pas de démontrer la très classique propriété de puissance d'un point 
   AP AB = AQ AC
un peu retravaillée :
   AP/AQ = AC/AB
mais l'égalité de ces deux derniers termes (élevés au carré) avec
   (PS/BD) / (SQ/DC)        [corrigé]
Cordialement,
Jean-Pol

jelobreuil

Bonsoir, @gypsic

Il y a très probablement une coquille dans la dernière expression de ton dernier message, je pense qu'il faut lire "SQ" et non "SD", n'est-ce pas ?

Bien cordialement, JLB

pappus

Bonsoir à tous

En essayant de prouver le critère de gypsic, je suis tombé sur ce petit lemme qui a son intérêt en lui même:

$$\dfrac{\overline{SP}}{\overline{SQ}}:\dfrac{\overline{S'B}}{\overline{S'C}}=\dfrac{\overline{TP}}{\overline{TB}}:\dfrac{\overline{T'Q}}{\overline{T'C}}$$

Amicalement

pappus

PS

Je n'hésite pas à manipuler des grandeurs orientées puisque cela fait déjà un bout de temps que les nombres négatifs ont été adoptés par la communauté mathématique!

gipsyc

Merci Jelobreuil,

Un "typo", une faute de frappe, une coquille, en effet ... absente heureusement sur mon schéma.

Jean-Pol

gipsyc

Bonjour Pappus,
Merci pour la formule.
Une autre ci-dessous, en copie d'écran Geogebra, sans doute plus classique
Mais je me rends compte que, non orientée, c'est exactement la même.

 ... un peu le théorème de Ceva du quadrilatère complet.
Et une autre, que j'avais également publié dans un forum:

... qui présente quelques analogies avec la formule précédente.
J'aurais dû la publier ici pour Noël.
Jean-Pol