Théorème d’Ascoli

romziath

Bonsoir à tous.
J’ai besoin de votre aide. 
   
$t \in (0;T) ,\ T >0, \  \Omega   \subset  \mathbb{R} ^3$  un ouvert borné. 
On a $f_ n(t) $ qui est bornée dans  $L^1(0,T)$  et $g_n(x,t)$ qui converge  faiblement  vers $g (x,t)$ dans $ L^2(0,T; L^2(\Omega))$.

Peut-on utiliser le théorème d’Ascoli pour montrer que  $f_n(t) g_n(x,t)$  converge vers  $f(t) g(x,t)$, ou comment peut-on montrer que $f_n(t)$ converge fortement vers $f(t)$.

[Même dans le titre, Giulio Ascoli (1843-1896) mérite sa majuscule. AD]

plsryef

Où est l'équicontinuité (équicontinuité de quoi d'ailleurs ?)

romziath

Dans  mon cas de travail $f_n(t) =\|g_n(x,t)\|_{L^2(\Omega)}^2 + \|  \frac{\partial g_n(x,t)}{ \partial t}|_{L^2(\Omega)}^2.$

romziath

L’objectif principal c'est de prouver la convergence du produit. Ce qui  revient à  montrer la convergence forte de $f_ n$.
Ma question est : est-ce qu’on peut utiliser le théorème d’Ascoli ? Sinon une idée sur comment le montrer. 

Poirot

Je vais répéter la question de plsryef : Où penses-tu obtenir de l'équicontinuité ?

romziath

On a pas l’equicontinuité.  Oh la la.  

romziath

Mais  est-ce qu'on peut montrer la convergence forte de f_n ?

Bibix

$L^2((0,T); L^2(\Omega))$ est un espace de Hilbert séparable, on prend une base hilbertienne $(u_n)_n$ de $L^2((0,T); L^2(\Omega))$ et on pose $g_n(t,x) := u_n(t,x) \in L^2(0, T; L^2(\Omega)$. On a alors $g_n$ qui converge faiblement vers $0$ dans $L^2((0, T); L^2(\Omega))$ mais $\|g_n(t)\|_{L^2} = 1 \neq 0$, donc ça me paraît très mal engagé...