Deux entiers naturels toujours distincts ?
dans Arithmétique
Bonjour,
Soit $\sigma_1$, un entier naturel impair différent de $1$ exprimé sous la forme $\sigma_1 = 2^p \times 3^q \times W - 1$,
$\phantom{.....}$où :
$\phantom{.....} p =$ un entier naturel non nul,
$\phantom{.....} q =$ un entier naturel,
$\phantom{.....} W =$ un entier naturel impair et premier avec $3$.
(Par exemple, $15 = 2^4 \times 3^0 \times 1 - 1$.)
Est-il possible de démontrer que l'entier naturel impair $\sigma_2 = \dfrac{3^{p+q}\times W - 1}{2^{\Delta}}$,
$\phantom{.....}$où :
$\phantom{.....}2^{\Delta}$ représente la plus grande puissance de $2$ (à exposant entier strictement positif) capable de diviser $3^{p+q}\times W - 1$,
est toujours différent de $\sigma_1$ ?
Merci d'avance.
Soit $\sigma_1$, un entier naturel impair différent de $1$ exprimé sous la forme $\sigma_1 = 2^p \times 3^q \times W - 1$,
$\phantom{.....}$où :
$\phantom{.....} p =$ un entier naturel non nul,
$\phantom{.....} q =$ un entier naturel,
$\phantom{.....} W =$ un entier naturel impair et premier avec $3$.
(Par exemple, $15 = 2^4 \times 3^0 \times 1 - 1$.)
Est-il possible de démontrer que l'entier naturel impair $\sigma_2 = \dfrac{3^{p+q}\times W - 1}{2^{\Delta}}$,
$\phantom{.....}$où :
$\phantom{.....}2^{\Delta}$ représente la plus grande puissance de $2$ (à exposant entier strictement positif) capable de diviser $3^{p+q}\times W - 1$,
est toujours différent de $\sigma_1$ ?
Merci d'avance.
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Réponses
Si $p<1,7 \times 10 ^{10}$, alors $\sigma _1 \neq \sigma _2$, je crois savoir.
Cordialement
Paul
Comme Raoul j'ai reconnu la ficelle qui veut dissimuler Syracuse, mais prouver que $\sigma _1\neq \sigma _2$ est bien plus simple que prouver qu'il n'y a pas de cycle non trivial. En effet, le cycle que Sneg propose sans le citer est très spécial: c'est une montée (de $p$ étages) puis une descente (de $1$ étage).
Et ce cas particulier de cycle (on l'appelle un "circuit") n'existe pas.
Plus précisément, il n'existe aucun circuit: ça a été prouvé en 1978 par R.P. Steiner.
Ne me demandez évidemment pas la démonstration!
Référence: Wirsching, Lectures Notes, page 22.
Si j'ai évité de parler de Syracuse dans mon message initial, ce n'était pas pour dissimuler mes intentions ou vous piéger, mais simplement pour éviter d'en rajouter une couche avec cette conjecture qui irrite parfois.
D'ailleurs, quand j'ai lu que Math Coss, que je remercie, avait effectué des tests, j'ai voulu intervenir pour lui parler du lien avec Syracuse, mais n'en ai pas trouvé le temps.
Comme l'a écrit depasse, le problème des éventuels cycles non triviaux dans la conjecture de Syracuse est un problème encore plus compliqué que celui qui fait l'objet de ce fil. En effet, supposons prouvées les inégalités $\sigma_1 \neq \sigma_2$ et $\sigma_2 \neq \sigma_3$, comment prouver maintenant que $\sigma_1 \neq \sigma_3$ ?
Grand merci à depasse (Édit : ainsi qu’à Math Coss) pour la référence de lecture (j'ignorais le terme "circuit").
Bonne année 2023 à tous.
Il y a d’autant moins de « dissimulation » de ma part que ce dont je parle dans ce fil a déjà été évoqué en toutes lettres (et symboles) dans mon fil intitulé « Conjecture de Syracuse - Sneg » (voir la rubrique Shtam) à la page 20.
:-)
Je n'ai manifestement pas compris non plus la remarque de "depasse", puis sa rectification de vocabulaire. :-/
Je commence par expliquer ma rectification de vocabulaire:
J'avais le souvenir (erroné) qu'on appelait "circuit", mot anglais utilisé par Steiner, un cycle particulier, à savoir une seule montée (d'impairs donc) aboutissant à un sommet (pair donc) puis une seule descente (de pairs donc) aboutissant au nombre (impair donc) qui serait précisément l'impair qui avait initialisé la montée. A partir de ce souvenir erroné de vocabulaire, je t'ai dit qu'il n'existait pas de circuit -c'est le théorème de Steiner- excepté 1,2,1.
A mon erreur de vocabulaire près, le théorème de Steiner répond exactement à ta question: OUI tes deux entiers sont toujours distincts -excepté dans le cas 1,2,1.
Pour moi le mot circuit renvoie à cercle, cycle, d'où ma confusion que j'ai voulu corriger en donnant la définition de Steiner: un circuit, pour lui, c'est une montée suivie d'une descente. Point barre. Et son théorème, avec son vocabulaire, s'énonce donc: Le seul circuit qui est aussi un cycle est 1,2,1.
En espérant t'être utile
Cordialement
Paul
Cordialement.