Corps fini et extension de corps

OShine

Bonsoir.
Je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas possible d'avoir $\alpha \in K$ dans Q2.

Math Coss

C'est écrit : si $\alpha\in K$, le polynôme minimal de $\alpha$ est de degré $1$. Vois-tu qui est le polynôme minimal de $\alpha$ sur $K$ si $\alpha\in K$ ?

(Indication : quel est le polynôme minimal de $3$ sur $\Q$ ? – Oui, je sais bien que $\Q$ n'est pas un corps fini et qu'il n'est pas de caractéristique $2$ non plus mais si tu sais répondre à cette question, ça devrait être facile de remplacer $3$ par $\alpha$.)

OShine

Merci. J'avais mal compris la définition d'un polynôme minimal sur un corps $K$.
Si $\alpha \in K$ alors $X-\alpha$ est le polynôme minimal de $\alpha$ sur $K$, ce qui contredit l'hypothèse que le polynôme minimal soit de degré $2$.
Le polynôme minimal de $3$ sur $\Q$ est $X-3$. 
Sinon, pas de difficulté pour la question $3$, on utilise la propriété fondamentale d'une extension. $K(\alpha)$ est un sous-corps de $L$ contenant $K$ et $\alpha$. Si $M$ est le polynôme minimal de $\alpha$ sur $K$ alors il y a isomorphisme entre $K[X] / (M)$ et $K(\alpha)$ qui transforme la classe de $X$ en $\alpha$. 
Si $\deg M=2$ alors $(1,\alpha)$ est une base du $K$ espace vectoriel $K(\alpha)$. Les éléments de $K(\alpha)$ s'écrivent de manière unique sous la forme $\lambda_0 + \lambda_1 \alpha$ où $\lambda_i \in K$.

Fin de partie

Dans la question 3) il est question d'égalité d'ensembles.

OShine

Oui. Pour la dernière question, qui nécessite une bonne compréhension de la notion d'extension de corps, j'ai retravaillé cette partie du cours, que je commence à comprendre petit à petit.

Le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur.
En posant $\beta=a^{-1} \alpha$ on a $Q(\beta)=0$. Si le polynôme minimal de $\beta$ était de degré $1$, on aurait $\beta \in K$ soit $a \beta = \alpha \in K$ ce qui est absurde car on a dit que $\alpha \notin K$.

Donc $\boxed{\pi_{\beta} = Q}$. 

Montrons que $K(\alpha)= K( \beta)$ où $\beta=a^{-1} \alpha$. Ceci est ma rédaction, l'auteur ne détaille pas et donne la solution en 2 lignes.

• $K(\beta)= \{ \lambda_0 + \lambda_1 \beta \ | \ (\lambda_0,\lambda_1) \in K^2 \}$. En effet, $(1,\beta)$ est une base du $K$ espace vectoriel $K[X] / (Q)$. Comme $\alpha = a \beta$ avec $a \in K$ alors $\boxed{\alpha \in K( \beta) }$. Mais $K(\alpha)$ est le plus petit sous-corps qui contient $\alpha$. On en déduit que $\boxed{K(\alpha) \subset K( \beta)}$. 
• $K(\alpha)= \{ \lambda_0 + \lambda_1 \alpha \ | \ (\lambda_0,\lambda_1) \in K^2 \}$. En effet, $(1,\alpha)$ est une base du $K$ espace vectoriel $K[X] / (P)$. Comme $\beta = a^{-1} \alpha$ avec $a^{-1} \in K$ alors $\boxed{\beta \in K( \alpha) }$. Mais $K(\beta$ est le plus petit sous-corps qui contient $\beta$. On en déduit que $\boxed{K(\beta) \subset K( \alpha)}$. 

Par double inclusion, on a montré $\boxed{K(\alpha)=K(\beta) }$.