Attente et rencontre

Simeon-urbain

Bonjour tous,
meilleurs vœux à tous, que 2023 vous apporte le meilleur.


J'ai réussi graphiquement, mais je coince avec la théorie, une aide sera la bienvenue pour utiliser le produit de convolution.
  Merci de vos aides
Prenez soin de vous.      S_U

Simeon-urbain

Bonjour,  POUVEZ_VOUS ME donner une indication pour a) b) c).d).  merci infiniment.
   simeon

JLapin

Pour a), calcule la probabilité que Léa arrive pendant l'intervalle de temps qui va bien (que je te laisse déterminer à l'aide des hypothèses de l'énoncé).

Simeon-urbain

merci, je vais essayer

JLapin

As-tu trouvé la première question ?
Elle ne pose pas de difficulté mathématique. Il s'agit simplement de comprendre le contexte de l'exercice.

Et merci de répondre en public et pas en MP.

Simeon-urbain

Bonjour,
excusez moi d'avoir écrit en MP: je n'ai pas trouvé la question 1, je vais re-essayer,
j'ai trouvé la valeur de avec un produit de convolution, mais je bloque toujours sur le reste.
Je vais suivre vos conseils, ie recommencer.
Cordialement (à bientôt).  S_U.

JLapin

Cette question 1), c'est vraiment une question de la vie courante : essaye de te mettre à la place de l'un et l'autre, tu verras que la réponse est évidente. Il n'y a pas besoin de produit de convolution ou autre.

lourrran

Pour la question 1, je la décomposerais en plusieurs étapes : 
Léo arrive sur place précisément à 13h18,
 -Q1a- quelle est la probabilité que Léa soit déjà là, en train de l'attendre ?
 -Q1b- quelle est la probabilité que Léa arrive un peu plus tard, pendant que Léo l'attend ?
 -Q1c-  quelle est la probabilité que Léo et Léa se croisent ?
Généralisation :  Léo arrive sur place entre 13h10 et 13h50, reprendre les 3 questions ci-dessus.

En ajoutant ces questions intermédiaires, c'est un exercice de niveau collège ou début de lycée. Sans les questions intermédiaires, c'est un peu plus compliqué, parce qu'il faut prendre des initiatives. L'étudiant doit deviner lui-même le cheminement de pensée qui va amener à la solution. Mais les connaissances nécessaires restent les mêmes, des connaissances de niveau fin de collège.

Simeon-urbain

Bonjour 
merci à tous de vos aides,  je vais appliquer ce que vous dites lourran et j lapin
je me repose un peu et je reviens vers vous , je vous laisse un peu de repos
merci de me supporter
  prenez soin de vous    Simeon

Simeon-urbain

Re bonjour,
ce que lourran m'a suggéré j'avais essayé, pour 13h18, il y a rencontre très si Lea arrive entre 13h8 et 13h28 d'où proba 1/3 il me semble, mais pour généraliser j'ai envie de dire la même chose, mais quand qu'en est-il de Léo arrive entre 12h10 et 12h50.
Pardonnez ma faiblesse.
Merci de votre indulgence (il y a encore 3 questions, mais j'ai trouvé p                            s-u

JLapin

Léo arrive forcément entre 13h et 14h d'après l'énoncé.

Finalement, tu trouves quoi pour la question 1 ?

LOU16

Bonsoir,

Le $ \dfrac 1{24}$ de la question $d$ me donne beaucoup de mal parce que:

$E:=\text{ "Léo et Léa se rencontrent entre }13 \text { h et }13 \text { h }10"=\text{ "Léo et Léa arrivent entre }13\text { h et }13 \text { h }10"$ de sorte que
$$\mathbb P(E)=\left(\dfrac 16 \right)^2.$$

raoul.S

Effectivement, la d) à l'air d'être fausse. La question aurait dû être Montrer que la probabilité que Léo arrive entre 13 et 13h10 et qu'il fini par rencontrer Léa est de 1/24.

PS. bon ce n'est pas super bien formulé...

LOU16

C'est en effet plus facile à établir:

$F:\text{ " Leo arrive entre }13\text{ h et } 13\text {h } 10 ,\text { et rencontre Léa." }\quad \mathbb P(F)=\displaystyle \int_0^{\frac16} \left( x+\frac 16\right) \mathrm dx =\dfrac 1{24}.$

Simeon-urbain

Bonjour,
je suis heureux de vos  réponses.

Pour lourran.  Je trouve 1/3 ! à la question 1 (pas sûr).

Pour f(x)=1/3600(x(x+10)) et p=11/36.

Merci à tous.
Bonne soirée.

Simeon-urbain

Il fo faut un S à réponse.    Pardon.

[Il faut aussi une majuscule en début de phrase. AD]

Simeon-urbain

Bonjour
Est-ce que j'ai fait juste ?
Merci.  S_U
Bonne journée.

JLapin

q1) : réponse 1/3, ok.

q2) : ce que tu proposes pour $f(x)$ est faux. Le résultat est plus simple que ce que tu imagines.

lourrran

Je ne sais pas faire l'exercice, ou j'ai la flemme. A toi de nous convaincre que ta formule f(x)=1/3600(x(x+10)) est juste. 
En particulier, j'ai un vague doute, comment doit-on lire cette formule :  $ f(x) = \dfrac{1}{3600 \times x \times (x+10) } $ ou  $f(x) = \dfrac{1}{3600 } \times x \times (x+10) $ ou autrement ?

Et $p=11/36$, idem, explique-nous comment tu arrives à ce résultat, comme si on était un élève. Si tu arrives à nous convaincre, alors ça sera un bon signe.

Simeon-urbain

Bonjour,
voici ce que j'aurais fait à des lycéens.
 

LeVioloniste

Déjà moi je poserai le cadre :  qui est $(\Omega, \mathbf{A}, \mathbb{P})$ ?

On considère l'ensemble des résultats possibles comme le couple $(x,y)$ où $x$ est l'heure d'arrivée de $L_1$ et $y$ est l'heure d'arrivée de $L_2$. Les $L_i$ étant tes prénoms.

Donc du coup je décris l'univers $\Omega=[13,14]^2$.

On peut se ramener avec une translation, car il s'agit d'un problème de temps d'attente à $\Omega=[0,1]^2$.

Ici on a la tribu des évènements, on ne peut pas en parler j'imagine mais c'est la tribu des boréliens : $\mathbf{A}=\mathbf{B}[0,1]^2$.

Que dire en plus abordable sans la théorie de Lebesgue ?

Enfin pour parler des probabilités, on peut ici considérer que la loi est uniforme, vu que le hasard est total !

Enfin ici il faut parler de l'indépendance des arrivées des $L_i$, ce qui permet de définir que la loi de ton couple est une loi produit.

D'ailleurs on peut encore ajouter que les 2 lois sont identiques.

Donc ton $\mathbb{P}$ c'est la loi uniforme produit sur $[0,1]^2$.
Je ferai l'évènement plus tard.

Simeon-urbain

 Bonjour LeVioloniste,
  merci de ces précisions  qui m'aide dans ma (petite) progression
  à plus tard
  prenez soin de vous.   S_U

LeVioloniste

Pour la question a)
Si Y est le temps d'arrivée de $L_2$.
Soit A l'évènement $L_2$ rencontre $L_1$ entre 13h10min et 13h50min ; $A=\{Y \in [1/6;5/6]\}$ (on coupe 1h en intervalles de 10 min) est $\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(Y \in [1/6;5/6])=\int_0^1 \mathbf{1}_{[1/6;5/6]}(t) dt =4/6$.

Pour la question b)
Soit B l'évènement $L_2$ rencontre $L_1$ ; $B=\{y \in [0,1]; |x-y| \leq 1/6 \}$.
Ici pour le calcul on a le dessin de la bande dans le carré de $1 \times 1$. C'est la zone comprise entre les droites $y=x-1/6$ et $y=x+1/6$.

Une remarque : si $x$ et $y$ sont aléatoires (ce n'est pas cette question), géométriquement ce qui n'est pas dans la zone sont deux triangles rectangles isocèles de côté 5/6.
Donc l'aire est (1-1/6)^2=11/36. C'est la proba de se rencontrer si  $L_1$ et $L_2$ viennent au hasard et cela est un évènement différent.
C'est l'évènement $C=\{(x,y) \in \Omega ; |x-y| \leq 1/6 \}$. Ce n'est pas tout à fait pareil que la question et il faut bien le comprendre !
La différence est que pour l'évènement B, $x$ est fixé.

Cette valeur 11/36 est d'ailleurs la réponse de la question e).

Ici il faut distinguer 3 cas : (réfléchir en terme d'aires !)
$y \in [0,1/6]$, B dépend de $x$ et $B=[0,x+1/6]$, donc $\mathbb{P}(B)=(x+1/6)-0=f(x)$
$y \in [5/6,1]$, B dépend de $x$ et $B=[x-1/6,1]$, donc $\mathbb{P}(B)=1-(x-1/6)=7/6-x=f(x)$
$y \in [1/6,5/6]$, $B=[x-1/6,x+1/6]$, donc $\mathbb{P}(B)=(x+1/6)-(x-1/6)=2/6=f(x)$
Ici j'ai plus que répondu à la question ! La réponse est la première ligne :
$y \in [0,1/6]$, B dépend de $x$ et $B=[0,x+1/6]$, donc $\mathbb{P}(B)=x+1/6=f(x)$ car on ne regarde que sur [0,10].

Donc pour moi les formules que j'ai lues sont complètement fausses.
Je serai curieux de voir comment elles ont été trouvées ...

question c)
C'est la formule intégrale de la valeur moyenne : $M=\frac{1}{1/6-0}.\int_0^{1/6} f(x) dx$.
C'est bon Siméon vous pouvez finir ?

question d)
Ambiguë : il faut dire que $L_1$ arrive avec les conditions de la question b) car comme j'ai fait la remarque, s'il vient au hasard entre 13h et 14h alors on n'aura pas le même résultat.
Dans ce cas, on a une probabilité conditionnelle : $\mathbb{P}(\{ Y \in [0,1/6]  \} |  \{ X \in [0,1/6])$ me semble être la probabilité à calculer.

Simeon-urbain

 Bonjour LeVioloniste,
merci de votre travail, mais quelque chose m'échappe :
à la question a/, la probabilité de rencontre est-elle 1/3( comme vous le montrez pour b/), ou pourquoi 1/4 ?
J'ai fini le reste grâce à vous. 
  Merci, prenez soin de vous.
S_U

Simeon-urbain

up

Merci.

JLapin

C'est $1/3$ car Léa a une plage de 20 minutes sur les 60 minutes "disponibles" pour arriver et rencontrer Léo (10 min avant et après l'heure d'arrivée de Léo).