Calcul dans un produit tensoriel

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Bonjour, je propose cet exercice.

On se donne un anneau commutatif $A$ et on se donne une famille $\mu$ de $A$-algèbres, on se propose d'exprimer le calcul de deux éléments du produit tensoriel de $\mu$ au dessus de $A$.

Paul Broussous

Mais encore ?

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Chaque élément du produit tensoriel peut être exprimé comme un terme clos du langage des groupes paramétré par le générateur canonique du produit tensoriel. Il s'agit ici d'exprimer le produit de deux éléments du produit tensoriel en utilisant deux termes du langage des groupes associés respectivement aux deux éléments du produit tensoriel.

Math Coss

Si je comprends bien, tu veux traduire en termes compliqué $(a\otimes b)\cdot(a'\otimes b')=aa'\otimes bb'$ ? Ou bien une version plus compliquée faisant intervenir la distributivité, ce dont la propriété caractéristique du produit tensoriel nous dispense ?

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@Math Coss
Le symbole $\Sigma$ n'est pas autorisé.
Édit.Et je ne crois pas que "la propriété caractéristique du produit tensoriel nous en dispense". J'ai revu le livre de M. Rotmann dont @Thierry Poma m'avait envoyé un extrait (ça parlait du produit tensoriel binaire), M. Rotmann n'a pas bien traité ce sujet sur son livre et a même fait référence à un autre de ses livres pour les détails, je n'ai pas vu son autre livre.
Édit2. Je faisais référence à cet échange dans Édit: https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2332049/generalisation-de-la-notion-de-bimodule#latest

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Je précise aussi que $\mu$ est une famille potentiellement infinie d'algèbres.
Édit.
1) J'ai posé cet exercice car j'ai fait ma propre construction du produit tensoriel d'une famille d'algèbres et que dans les démonstrations que j'ai dû faire pour ma construction, j'ai remarqué quelques belles formules, notamment une formule calculant le produit de deux éléments du produit tensoriel.
2) Je pense qu'une question plus pertinente serait de recenser les différentes constructions (du produit tensoriel d'une famille d'algèbres) connues. Peut-être faudrait-il que j'ouvre un autre fil là dessus.
3) Si quelqu'un a une solution pour la question de départ, ce serait sympathique qu'il se manifeste. Cordialement.