Diamètres conjugués
Bonsoir à tous
Ce soir je rêvassais me culpabilisant d'avoir martyrisé ce pauvre Homo Topi avec mes cônes et mes quadriques.
J'essayais de trouver un exercice plus ou moins inédit sur les ellipses qui soit abordable pour la plupart d'entre vous !
J'en ai trouvé un et j'ai fait ce que j'ai pu pour le rendre élémentaire mais j'ai quelques doutes sur la notion de diamètres conjugués d'une ellipse, alors je stresse un peu et même beaucoup, vite mon Natispray!
Ce soir je rêvassais me culpabilisant d'avoir martyrisé ce pauvre Homo Topi avec mes cônes et mes quadriques.
J'essayais de trouver un exercice plus ou moins inédit sur les ellipses qui soit abordable pour la plupart d'entre vous !
J'en ai trouvé un et j'ai fait ce que j'ai pu pour le rendre élémentaire mais j'ai quelques doutes sur la notion de diamètres conjugués d'une ellipse, alors je stresse un peu et même beaucoup, vite mon Natispray!
Vous avez sous les yeux une ellipse $(E)$ du plan euclidien et sur cette ellipse un point fixe $P$.
D'autre part vous pouvez observer aussi une paire de diamètres conjugués variables $(MM',NN')$ sur lesquels vous projetez orthogonalement le point $P$ en $m$ et $n$.
Montrer que la droite $mn$ passe par un point fixe $Q$ quand la paire $(MM',NN')$ varie.
Montrer que la droite $mn$ passe par un point fixe $Q$ quand la paire $(MM',NN')$ varie.
Amicalement
pappus
pappus
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Réponses
À tout hasard, j'essaye une petite animation pour voir si je n'ai pas perdu la main du père Noël.
Amicalement
pappus
Pour une démonstration plus élémentaire qui ne tue pas une mouche avec un canon, j'ai trouvé cet exercice du Lebossé-Hémery de Terminale.
Ce n'est pas exactement la même chose, mais ce n'est pas très différent !
Voilà le calcul en dimension $2$:
Cordialement,
Rescassol
D'où l'énoncé rectificatif suivant.
Soit $q$ une forme quadratique définie positive sur $V$.
Soit $P\in V\setminus\{0\}$.
Soit $e=(e_1,\dots, e_n)$ un $q$-repère orthonormé de $V$
On projette orthogonalement (pour la structure euclidienne de $V$) $P$ en $m_i$ sur la droite $\mathbb R e_i$ pour $1\le i\le n$.
Montrer qu'il existe un opérateur symétrique défini positif, dit de Frégier, $\varphi$ de trace $1$ de $V$ tel que l'hyperplan contenant les $\{m_i\mid 1\le i\le n\}$ passe par $Q=\varphi(P)$ quand le repère $e$ varie.
Amicalement
pappus
J'ai fait disparaitre l'ellipsoïde devenu inutile et donc une source éventuelle de traumatisation !
Merci qui !
Il suffit, dans mon code, de remplacer la ligne "xp=a*cos(u); yp=b*sin(u);"
par la ligne "syms xp yp real"
et j'obtiens:
Rescassol
La question 2 se ramène exactement à la question 1 en considérant une inversion de centre $O$ et en appliquant la question 1 à l'image du cercle $\gamma$ par cette inversion.
Amicalement
pappus
Je l’avais bien vu mais fallait-il se donner tout ce mal surtout quand tu devras passer en dimension $n$?
Amicalement
pappus
Amicalement
pappus
En complément (repris dans une publication séparée)
Le point fixe de pappus est à l'intersection de trois segments ou droite :
• des segments obtenus par projection du point P
- sur deux diamètres conjugués de l'ellipse
quels qu'ils soient
- sur les deux axes de l'ellipse
• de la normale à l'ellipse au niveau du point P
...
et les 4 points sur les deux segments ainsi construits sont cocycliques avec le centre de l'ellipse.
Belle fin de soirée,
Jean-Pol
J'ai déjà les coordonnées du point fixe de pappus.
Si l'on part du point d'intersection de la normale en P et de la droite par les points de projection sur les axes de l'ellipse
• P (a cos θ, b sin θ) = (x₀︎,y₀︎)
• équation de la normale en P
(y - y₀︎) = (a²/b²)( y₀︎/x₀︎) (x - x₀︎)
• équation de la droite par (x₀︎,0) et (0,y₀︎)
y = [(y₀︎)/(-x₀︎)] (x-x₀︎)
• intersection Q (schéma de papus) des deux droites précédentes
abscisse : x₀︎a²/(a²+b²)
ordonnée : y₀︎b²/(a²+ b²)
• le pire : équation de la droite mystère par les points de projection de P sur n'importe quelle paire de diamètres conjugués
?
et ensuite prouver que Q
vérifie l'équation de cette droite mystère.
Si l'équation est vérifiée, le point Q donné par les projections de P sur les diamètres conjugués est fixe puisque ce point a été déterminé qu'avec les paramètres liés au point P indépendamment de ses projections sur les diamètres conjugués.
Jean-Pol
Légèrement plus simple:
Passons en revue les ingrédients utiles pour cuisiner une solution à cet exercice.
- Définition de conjugué. On dira que trois points d'un ellipsoïde forment un système conjugué lorsque le plan tangent par l'un quelconque d'entre eux est parallèle au plan déterminé par l'origine et les deux points restants.
-
La formule $\pi:X\mapsto\left(\prodscal XP\div\prodscal PP\right)\,P$ donne la projection du point vectoriel $X$ sur la droite vectorielle déterminée par $P$. Il est en effet évident que $\pi$ est linéaire de rang $1$ avec $\pi P=P$.
-
Implémentation de " et circ." On a besoin d'une transformation $\rot$ agissant sur les coordonnées, sur le modèle $x\mapsto y\mapsto z\mapsto x$ et d'une transformation $\tor$ agissant sur les points, sur le modèle $1\mapsto2\mapsto3\mapsto1$. On ajoute $\rott\doteq\left(id,\rot,\rot^{2}\right)$, $\rots\doteq\mathrm{add}\circ\rott$ et $\rotp\doteq\mathrm{mul}\circ\rott$. On a donc, par exemple, $\rots\left(p_{1}\right)=p_{1}+q_{1}+r_{1}$ et $\torp\left(p_{1}\right)=p_{1}\,p_{2}\,p_{3}$.
-
Pour des matrices carrées, $A\,B=I_{n}$ implique $B\,A=I_{n}$.
-
Zaïeux 1888 a déjà été identifié comme https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb30689513z
On remarquera que (1)=Thalès, (2)=Pythagore, (3,4)=calculs à la Gergonne, impitoyables et incompréhensibles pour quiconque ne prend pas la peine de les lire. Autant dire qu'on ne va pas sortir de la routine.Notons $P_{j}\simeq p_{j}:q_{j}:r_{j}:1$ un système de points conjugués et $\conim 4=\mathrm{diag}\left(\rot3\left(1/a^{2}\right),-1\right)$ la matrice de l'ellipsoïde dans un système centré et orthogonal. Le plan tangent en $P_{j}$ est donc $\tra{P_{j}\cdot\conim 4}$. La condition de parallélisme veut dire que le point $P_{j}+P_{k}-O$ appartient également au plan tangent. Cela s'écrit \[ \tra{\left(\tort\vec{P_{1}}\right)}\cdot\wurz\cdot\wurz\cdot\left(\tort\vec{P_{1}}\right)=I_{3}\where\overrightarrow{P_{1}}=\left(\begin{array}{c} p_{1}\\ q_{1}\\ r_{1} \end{array}\right)\ptv\wurz=\mathrm{diag}\left(\rot3\left(1/a\right)\right) \] On en déduit que: $\wurz\cdot\left(\tort\vec{P_{1}}\right)\cdot\tra{\left(\tort\vec{P_{1}}\right)}\cdot\wurz=I_{3}$. On dispose donc des 6 relations: \[ \rott\left\{ \tors(p_{1}^{2})=a^{2},\tors(p_{1}\,q_{1})=0\right\} \]
On projette le point $M\simeq x:y:z:1$ sur les diamètres d'un système conjugué. Cela donne : \[ Q_{1}\simeq\rott(\rots(x\,p_{1})\,p_{1}) : \rots(p_{1}^{2}) \] et le plan demandé s'obtient en prenant le déterminant de $\boxed{\mathcal{P}}\doteq\left[Q_{1},Q_{2},Q_{3},N\right]$ $\where N\simeq X:Y:Z:T$. Evidemment, on pourrait utiliser trois systèmes, obtenir trois plans, et en prendre le wedge. Mais il y a plus efficace.
On multiplie $\boxed{\mathcal{P}}$ par la colonne (((emoticons=shit))) $-1: -1: -1: a^{2}+b^{2}+c^{2}$. Et on simplifie le résultat en utilisant les sus-dites six relations. Cela se fait tout seul en utilisant une machinerie à la Groebner. Il paraît même qu'on peut le faire à la main. Et cela donne: \[ \left(\begin{array}{c} X\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-xa^{2}\\ Y\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-yb^{2}\\ Z\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-zc^{2}\\ T\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \end{array}\right) \] On en déduit que le point $N\simeq a^{2}:b^{2}:c^{2}:a^{2}+b^{2}+c^{2}$ annule tous ces déterminants et appartient donc à tous les plans concernés. Si l'on rajoute la condition $M\in\mathcal{C}$, on voit que les points $N$ appartiennent tous à l'ellipsoïde $\widehat{a}=a^{3}/\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$. Bilan: il semble difficile " d'exposer la théorie des diamètres conjugués d'un ellipsoïde" sans commencer par en donner la définition.
Cordialement, Pierre
je n'y connais pas grand chose mais il me semblait que des directions conjugués (au moins pour l'ellipse) étaient simplement des vecteurs orthogonaux pour $Q$ (la forme quadratique définissant l'ellipse : $Q(X)=1$). ça me semble plus simple que la direction entre le centre et un point en lequel la tangente est parallèle à une direction donnée qui est sans aucun doute la définition géométrique "ancienne"
Ca doit bien se généraliser, non ? en une base de vecteurs orthogonaux pour $Q$.