Questions équivalents

LeVioloniste

Bonjour,
je veux faire cet exercice que je ne trouve pas standard et difficile à mon goût.

1. Déjà je n'aime pas les équivalents, j'ai envie d'écrire : $u_n=a.n^{\mu}+o_{+\infty}(n^{\mu})$.

Êtes-vous d'accord avec cette écriture ?

$x^{u_n}=x^{a.n^{\mu}+o_{+\infty}(n^{\mu})} = x^{a.n^{\mu}} +o_{+\infty}(n^{\mu})=(x^{a})^{n^{\mu}} +o_{+\infty}(n^{\mu})$ (ça c'est faux !)

La comparaison avec une série géométrique me tente, mais le $n^{\mu}$ me pose problème car on n'a plus des entiers.
Le passage à l'exponentielle ne donne rien pour moi.
Une idée ?

2a.
On étudie sur $]0;1[$ $\psi(t)=t^m - t^{m+1}$. Par dérivation on a un max en $\frac{m}{m+1}$ et $\psi(\frac{m}{m+1})=\frac{1}{m+1}.(\frac{m}{m+1})^{m}$

que l'on majore par $\frac{1}{m}$.

2b.
Je ne vois pas de lien avec l'étude de $x^{u_n}$.

Même si c'est bien loin les classes prépas, je ne souviens pas d'avoir vu ce type d'exo !

Pour certains cela est facile ?

gerard0

Bonjour.

1) Ok pour la traduction de l'équivalence, par contre la suite, c'est du n'importe quoi : 
$x^{a.n^{\mu}+o_{+\infty}(n^{\mu})} = x^{a.n^{\mu}} +o_{+\infty}(n^{\mu})$
Tu crois vraiment que $x^{a+b}=x^a +b$ ?

2a) OK.

Cordialement.

LeVioloniste

Quand tu écris $e^{x+o_0(x)}=e^{x}+o_0(x)$ c'est vrai ou pas ?

LeVioloniste

Sinon gerard0 tu écris quoi pour la première question  ? Je n'y arrive pas.

JLapin

Etudie $n^2 x^{u_n}$ en mettant sous forme exponentielle.

LeVioloniste

Voici : $n^2x^{u_n}=e^{2\ln(n)+u_n\ln(x)}$
Puis $2\ln(n)+u_n\ln(x)=u_n\ln(x)[\frac{2\ln(n)}{u_n\ln(x)}+1]$
Et après ? Le $n^2$ se fait dominer par le $u_n\ln(x)$ à l'infini ...

JLapin

Tu pourrais utiliser un théorème de croissance comparée pour trouver un équivalent simple de ce qui se trouve à l'intérieur de ton exponentielle.

LeVioloniste

$x^{u_n}=x^{a.n^{\mu}+o_{+\infty}(n^{\mu})} $

$2\ln(n)+u_n\ln(x)=2\ln(n)+\ln(x).a.n^{\mu}+o_{+\infty}(n^{\mu})$

$=n^{\mu}[\frac{2\ln(n)}{n^{\mu}} + \ln(x).a] + o_{+\infty}(n^{\mu})$

Avec $\frac{2\ln(n)}{n^{\mu}} \mapsto 0$ qd $n \mapsto +\infty$.

Donc $2\ln(n)+u_n\ln(x) \sim \ln(x).a.n^{\mu}$.

Donc j'en reviens à $n^2$ est écrasé par $x^{u_n}$ ...

JLapin

Donc tu peux comparer $x^{u_n}$ à un exemple de Riemann et conclure.

LeVioloniste

Donc $n^2.x^{u_n} \mapsto 0$ qd $n \mapsto +\infty$. En effet rajoutons que $x^{u_n} \mapsto 0$ qd $n \mapsto +\infty$.

Donc $x^{u_n} = o_{+  \infty}(1/n^2)$ et la somme de Riemman de TG $1/n^2$ cvg. Donc la série cvg.

Pour une première question c'est assez technique et délicat ... C'est bien un exo de concours !

LeVioloniste

Bon JLapin je sèche sur la 2b, je ne vois pas le lien avec la 2a.

JLapin

Fixe $\lambda\in \,]1,\mu[$ et essaye de montrer à partir d'un certain rang l'inégalité $x^{u_n} \leq \dfrac{1}{1-x\vphantom{n^\lambda}}\times\dfrac{1}{n^\lambda}$.

LeVioloniste

Bon je vais chercher mais je m'intéresse à l'idée là derrière.

JLapin

On te donne $\mu>1$ comme hypothèse donc il est naturel d'introduire $\lambda$ entre les deux et de transformer l'équivalent qui fait intervenir $\mu$ en une inégalité qui fait intervenir $\lambda$.

On peut utiliser le même principe dans la démonstration du critère de d'Alembert.