Développement en série entière

Bethebesteveryday

Bonjour tout le monde , svp comment on a pu déduire d’après * que les indices impairs sont tous nuls ? (en fait je peux le remarquer d’après la fonction elle est paire , mais comment le déduire d’après l’équation ? Et puis a2n comment on les trouve svp ?
Merci d’avance

Poirot

Il est clair que $a_1 = 0$ puisque $a_1$ doit être la dérivée en $0$ de $(\arcsin)^2$ et on a $\arcsin(0)=0$. En utilisant $(*)$ on obtient immédiatement par récurrence que $a_{2n+1} = 0$ pour tout $n \in \mathbb N$.

Pour le calcul de $a_{2n}$, c'est comme au-dessus, en utilisant $a_2 = 1$ et $(*)$ à dérouler par récurrence. Pour le voir directement, commence par calculer $a_{n+4}$ en fonction de $a_n$ et regarde les termes qui apparaissent.

gerard0

Bonjour.

La récurrence se fait soit sur les pairs, soit sur les impairs, puisqu'on passe de $a_n$ à $a_{n+2}$ et $a_1=0$.

Bethebesteveryday

Poirot a dit :

Il est clair que $a_1 = 0$ puisque $a_1$ doit être la dérivée en $0$ de $(\arcsin)^2$ et ona $\arcsin(0)=0$. En utilisant $(*)$ on obtient immédiatement par récurrence que $a_{2n+1} = 0$ pour tout $n \in \mathbb N$.

Pour le calcul de $a_{2n}$, c'est comme au-dessus, en utilisant $a_2 = 1$ et $(*)$ à dérouler par récurrence. Pour le voir directement, commence par calculer $a_{n+4}$ en fonction de $a_n$ et regarde les termes qui apparaissent.

Bethebesteveryday

gerard0 a dit :

Bonjour.

La récurrence se fait soit sur les pairs, soit sur les impairs, puisqu'on passe de $a_n$ à $a_{n+2}$ et $a_1=0$.

Merci bcp !

Bethebesteveryday

Svp est ce que quelqu’un a trouvé l’expression de a2n ??

JLapin

Oui, l'auteur du manuel au moins.

Tu peux vérifier l'expression donnée par récurrence.

Math Coss

Au lieu d'écrire $\frac{*}{(n+3)(n+4)}\cdot\frac{*}{(n+1)(n+2)}$, il aurait été plus parlant d'écrire $\frac{*}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$, non ? On voit que ce sont tous les entiers entre l'indice de $a_n$ augmenté de $1$ et l'indice de $a_{n+4}$.

Surtout, au lieu d'écrire $a_{n+4}$ en fonction de $a_n$, il aurait mieux valu écrire $a_n$ en fonction de $a_{n-4}$. C'est le début du chemin, qui finit à $a_0$ ou $a_1$ selon la parité de $n$.

Au dénominateur, on voit d'après la remarque initiale qu'apparaissent tous les entiers entre $0+1$ ou $1+1$ et $n$, c'est-à-dire qu'on voit apparaître $n!$.

Au numérateur, on trouve donc le carré du produit de tous les nombres de même parité que $n$ et inférieurs ou égaux à $n$. De deux choses l'une :

• si $n$ est pair, disons $n=2p$, on factorise tous les $2$ que l'on peut : \[n(n-2)\cdots\times2=2p(2p-2)\cdots\times2\times1=2^{p}p(p-1)\cdots\times1=2^p\cdot p!\,;\]
  
• si $n$ est impair, disons $n=2p+1$, l'astuce classique la méthode, que tu as certainement rencontrée à propos des intégrales de Wallis ou en développant $(1+x)^{1/2}$ en série entière (ou simplement en faisant le DL) consiste à multiplier en haut et en bas par les nombres pairs « qui manquent » pour faire apparaître la factorielle de $n$ (au carré) ; puis on factorise ce que l'on peut comme ci-dessus : \[(2p+1)^2(2p-1)^2\cdots\times3^2=\frac{(2p+1)^2(2p)^2(2p-1)^2(2p-2)^2\cdots 4^2\times3^2\times2^2}{(2p)^2(2p-2)^2\cdots 4^2\times2^2}=\frac{(2p+1)!^2}{2^{2p}p!^2}\] (modulo les erreurs de calculs que j'introduis – exprès ? eh eh, tu ne le sauras jamais !).