Notion de faisceau

stfj

Bonjour,
Je suis en train d'étudier Compléments de géométrie algébrique d'Alfred Doneddu(1972). Dans son chapitre 3, Compléments sur les géométries projectives, il parle de DUALITE DANS LES ESPACES PROJECTIFS.
Je brosse rapidement le cadre : 
$K$ désigne un corps commutatif quelconque; $E$ un espace vectoriel sur $K$, $P(E)$ l'espace projectif associé, $E^*$ l'espace dual, $\mathcal{H}$ l'ensemble des hyperplans projectifs de $P(E)$. Soit $H\in \mathcal{H}$. $\exists F$, hyperplan de $E$ tel que $H=P(F)$. Si $f(x)=0$ est une équation de $F(f\in E^*\setminus \{0\})$, toute autre équation est du type $\lambda f(x)=0$, avec $\lambda \in K-\{0\}$. Par suite, à $H$ correspond un point et un seul :$$h=\pi(f)\in P(E^*)$$
, où $\pi$ désigne la projection canonique de $E^*-\{0\}$ sur $P(E^*)$.
Doneddu met ainsi en évidence une bijection qu'il note $\delta$ et qu'il nomme bijection canonique de dualité de $\mathcal{H}$ sur $P(E^*)$. Au passage, il appelle $f(x)=0$ une équation de $H$.

Je trouve tout cet exposé "overpedantic" comme diraient les anglais mais j'arrive à comprendre sans problème il me semble .
Suivent deux définitions : 
Définition. - Une famille finie $\{H_1,...,H_n\}$ d'hyperplans de $\mathcal{H}$ est dite libre (resp. liée) si la famille image par $\delta$, $\{h_1,..., h_n\}$ est projectivement libre (resp. liée) dans $P(E^*)$.

Définition. - On appelle rang de la famille $\{H_1,...,H_n\}$ le rang de $\{h_1,..., h_n\}$.

Jusque là tout va bien. Mais arrive la définition qui fait l'objet de ce post : 

 Définition. - "On appelle faisceau linéaire d'hyperplans(ou faisceau d'hyperplans) toute famille d'hyperplans de $\mathcal{H}$ dont l'image par $\delta$ est une variété projective de dimension $1$ dans l'espace dual $P(E)^*\color{red}{[sic]}.$"

Ici, au secours, help, SOS Il est facile de corriger la coquille : $P(E^*)$. Je dispose d'autres sources comme cet exercice d'un livre de 2006 : 

Exercice VI.12 (Faisceaux de droites). Un faisceau de droites d'un plan projectif $P$ est la famille notée $m^*$ de toutes les droites passant par un point $m$. Montrer qu'un faisceau de droites de $P$ est ... une droite de $P^*$.

Déjà, c'est un peu plus clair pour moi :  j'ai regardé sur internet et on y trouve la notion naïve de faisceau dans un plan : ensemble de droites passant par un point du plan.

J'ai pensé à prendre un exemple :  $K:=\mathbb R, E:=\text{l'espace euclidien}\mathbb R^3, F_1:ax+by+cz=0, F_2:dx+ey+fz=0, H_i=P(F_i)$, pourquoi pas $H_1:z=0$ et $H_2:x=0 $ . Du coup, $f_1:(x,y,z)\to z$ et $f_2:(x,y,z)\to x$ en bijection $\cancel{\text{canonique}}$ respectivement avec $(0,0,1)$ et $(1,0,0)$, ce qui me donne le plan $\text{Vect}((0,0,1),(1,0,0))$, le rang des deux vecteurs étant $2$ et donc la possibilité d'affirmer que $\{H_1,H_2\}$ $\cancel{\text{est}}$ engendre selon la définition de Doneddu un faisceau. Je ne sais pas si mon exemple est bien construit, si je suis sur la bonne voie et sollicite donc votre aide. 

stfj

Si dans l'exemple que je me suis construit, je rajoute le plan $F_3:y=0$, j'obtiens Vect$((0,0,1),(1,0,0),(0,1,0))=\mathbb R^3$ de rang 3 et donc là on n'a plus un faisceau. Par contre si je prends $F_3:x+z=0$, dim(Vect$((0,0,1),(1,0,0),(1,0,1))=2$ et l'on a bien un faisceau correspondant dans $\mathbb R P^2$ à trois droites projectives concourantes à l'infini. J'ai l'impression de pédaler dans la semoule .

GaBuZoMeu

Bonjour,

Doneddu définit ce qu'est un faisceau linéaire d'hyperplans : une droite dans l'espace projectif dual. Mettre en avant cette structure de droite projective est important. Par exemple, elle amène avec elle le birapport de quatre hyperplans d'un faisceau. Aussi, elle permet de dire que l'application qui à chaque hyperplan du faisceau associe son point d'intersection avec une droite qui n'est contenue dans aucun hyperplan du faisceau est une homographie entre droites projectives (et donc conserve le birapport).

Tu parles ensuite de faisceau de droites dans le plan : c'est un cas particulier. La définition que tu cites ne définit pas ce qu'est un faisceau d'hyperplans.

Petit exercice pour toi : généraliser la définition "famiile des droites passant par un point" pour un faisceau d'hyperplans dans un espace projectif de dimension quelconque.

"en bijection canonique" : cette bijection n'est pas canonique, elle dépend du choix de la base.

"affirmer que $\{𝐻_1,𝐻_2\}$ est selon la définition de Doneddu un faisceau" : sûrement pas ! Un ensemble de deux droites n'est pas un faisceau. Ces deux droites engendrent un faisceau de droites

stfj

@GaBuZoMeu: merci pour tes remarques. Je réfléchis à l'exercice que tu m'as proposé.

gai requin

Un faisceau d’hyperplans est une droite de l’espace des hyperplans.

Montrer que pour tous hyperplans $H$ et $H_1\neq H_2$, on a $H\in (H_1H_2)\Leftrightarrow H_1\cap H_2\subset  H$.

stfj

Soit $H_1$ et $H_2$ deux hyperplans distincts du faisceau $\mathcal{F}\subset \mathcal{H}$. Je reprends pour ton exo les notations de Doneddu. En fait je m'inspire de façon éhontée de ce qu'il écrit . Toujours avec les notations de Doneddu, alors $$h_1=\delta(H_1)\text{    et   }h_2=\delta(H_2)$$sont deux points distincts dans $P(E^*)$. Si $f_1(x)=0$ et $f_2(x)=0 $ sont deux équations respectivement de $H_1$ et de $H_2$, on a $h_1=\pi(f_1)$ et $h_2=\pi(f_2)$. Les deux points $h_1$ et $h_2$ engendrent une droite projective $D=(h_1h_2)\subset P(E^*)$ que tu notes, @gai requin, si j'ai bien compris $(H_1H_2)$. Par définition d'un faisceau, pour tout hyperplan $H$ du faisceau $\mathcal{F}$, il existe $h\in D$ tel que $\delta{H}=h$.
Pour tout point $h$ de $D=(h_1h_2)=(H_1H_2)$, il existe deux scalaires $\alpha_1$ et $\alpha_2$ non simultanément nuls, tels que : $$h=\pi(\alpha_1 f_1+\alpha_2 f_2)$$.
Soit alors $x\in H_1$. On a $f_1(x)=0$. Si en outre $x\in H_2$, on a $f_2(x)=0$. Donc $\alpha_1 f_1(x)+\alpha_2 f_2(x)=0+0=0$ et $x\in H$.
Donc $$H\in (H_1H_2)\Rightarrow H_1\cap H_2\subset  H$$
(j'espère ne pas avoir écrit trop d'âneries)

gai requin

Et la réciproque ?

stfj

Je voulais d'abord m'assurer qu'il n'y avait pas d'erreur dans ce que j'ai écrit. Par ailleurs, je n'ai pas d'idée pour l'instant pour la réciproque. Par contre, je crois que j'ai un peu progressé dans la compréhension de ce qu'est un faisceau linéaire d'hyperplans. D'une part, reformuler la définition de Doneddu par "une droite dans l'espace des hyperplans" me plaît bien. D'autre part, si je reprends le sens direct de ton exercice, je me dis que l'idée est de prendre dans la famille $\mathcal{F}$ d'hyperplans deux hyperplans distincts $H_1$ et $H_2$, soit à la bijection $\delta$ près deux points qui vont définir la droite, et de s'assurer que tout point/hyperplan de la droite va contenir l' intersection $H_1\cap H_2$ de ces deux hyperplans choisis arbitrairement.

stfj

Pour la réciproque, je me place en dimension finie $n$. Supposons que $H_1\cap H_2$ soit contenue dans $H$. Complétons $\{f_1,f_2\}$ en une base $\{f_1,...,f_n\}$ de $E^*$. Soit $f(x)=0$ une équation de $H$. On a $f=\sum \alpha_i f_i$. Par hypothèse, si $f_1(x)=f_2(x)=0$, alors $f(x)=\alpha_3 f_3(x)+...+\alpha_n f_n(x)=0$. On a dim$U$+dim$U'=n$, où $U'$ désigne l'orthogonal de $U$. Je ne parviens pas à mettre tout cela en forme mais, avec dim$F_1\cap F_2=n-2$, cela devrait permettre de prouver que $f=\alpha_1 f_1+\alpha_2 f_2$, donc que $h=\pi(f)\in (h_1h2)$, autrement dit que $$H_1\cap H_2 \subset H \Rightarrow H\in(H_1H_2)$$

GaBuZoMeu

Vois-tu le lien avec l'exercice que je t'ai posé ?

stfj

@GaBuZoMeu : dans $\mathbb R P^2$, un faisceau d'hyperplans est l'ensemble des droites passant par un point m; dans $\mathbb R P^3$, un faisceau d'hyperplans est l'ensemble des plans passant par une droite ;....

Math Coss

Suspect... L'intersection de deux hyperplans est plus gros qu'une droite. Or, d'après l'exercice de @gai requin, elle semble caractériser le faisceau.

PS : Ce reproche tiendrait si on était dans $\R P^n$ avec $n\ge4$ comme « en général » dans certains messages ci-dessus.

GaBuZoMeu

@Math Coss , j'ai comme l'impression que tu as oublié de lire "dans $\mathbb RP^3$".

Math Coss

Oui, en effet, je m'en suis aperçu mais je n'avais plus le temps de rectifier.

stfj

A propos, si on si limite - pour moi sagement - à $\mathbb R P^2$, et qu'on essaie de construire un exemple simple de faisceau en partant de la définition de Doneddu. Je reprends mon exemple de départ : $K:=\mathbb R, E:=\text{l'espace euclidien }\mathbb R^3, F_1:ax+by+cz=0, F_2:dx+ey+fz=0, H_i=P(F_i)$, pourquoi pas $H_1:z=0$ et $H_2:x=0 $ . Du coup, $f_1:(x,y,z)\to z$ et $f_2:(x,y,z)\to x$ en bijection  respectivement avec $(0,0,1)$ et $(1,0,0)$, ce qui me donne le plan $\text{Vect}((0,0,1),(1,0,0))$, le rang des deux vecteurs étant $2$ et donc la possibilité d'affirmer que  engendre selon la définition de Doneddu un faisceau.
Prendre $z=0$ est maladroit si l'on songe à la liaison entre géométrie affine et projective. Je propose donc l'exemple suivant : Soit $\{F_{a,b}\}_{a,b\in \mathbb R}$ la famille d'hyperplans de $\mathbb R^3$ définie par $$F_{a,b}:ax+by=0$$
et $\mathcal {H}$ la familles de droites projectives définie par $$\mathcal{H}=\{P(F_{a,b})\}_{a,b\in \mathbb R}$$Cet exemple me paraît intéressant. En reprenant les notations utilisées dans les commentaires, on peut prendre $$H_1:=P(F_{1,0}), H_2:=P(F_{0,1})$$ qui vont engendrer le faisceau $\mathcal{H}$
Si l'on considère maintenant l' Exercice VI.12 (Faisceaux de droites). Un faisceau de droites d'un plan projectif $P$ est la famille notée $m^*$ de toutes les droites passant par un point $m$. Montrer qu'un faisceau de droites de $P$ est ... une droite de $P^*$.
Les deux définitions apparaissent cohérentes: $$\mathcal{H}=m^*\text{, avec }m:=(0,0,1)\text{ en utilisant la liaison affine/projective}$$
C'est bien une droite de $P^*$ : en reprenant pas à pas le début de l'exposé de Doneddu que j'ai rappelé : si l'on prend un plan $F_{a,b}:ax+by=0$, $f=(a,b,0), h=\pi(f)=\mathbb R (a,b,0), \text{ point de } P^*$. La droite dont il est question dans l'exercice est la droite $(h_1h_2)$, avec $$h_1=\pi(1,0,0), h_2=\pi(0,1,0)$$
Ce qui illustre la dualité : à un faisceau de droites concourantes est associé un ensemble de points alignés.

stfj

Vient alors l' exercice VI.13 : Soit $P$ un plan projectif. Soit $D$ une droite et $m$ un point hors de $D$. Soit $m^*$ la droite duale, ie l'ensemble des droites passant par $m$. On définit l'application d'incidence $$i:m^*\to D$$ en associant à toute droite passant par $m$, son point d'intersection avec $D$. Montrer que $i$ est une homographie.
Pour l'instant, je ne vois pas l'intérêt qu'il y a à concevoir un faisceau comme une droite du dual pour trouver ce qu'il y a de linéaire là-dedans

gai requin

L’intérêt, c’est de visualiser le birapport sur $m^*$ grâce à $i$ et d’utiliser ensuite que ce birapport est indépendant de $D\notin m^*$, of course.

GaBuZoMeu

Bis repetita placent :

Doneddu définit ce qu'est un faisceau linéaire d'hyperplans : une droite dans l'espace projectif dual. Mettre en avant cette structure de droite projective est important. Par exemple, elle amène avec elle le birapport de quatre hyperplans d'un faisceau. Aussi, elle permet de dire que l'application qui à chaque hyperplan du faisceau associe son point d'intersection avec une droite qui n'est contenue dans aucun hyperplan du faisceau est une homographie entre droites projectives (et donc conserve le birapport).

stfj

ok, j'ai tous les éléments dorénavant pour poursuivre de façon fructueuse l'étude du très clair exposé de Doneddu. Merci, @GaBuZoMeu, @gai requin, @Math Coss.

stfj

Je crois que je commence à y voir clair : il y a aussi l'ex 1.7.5 p.30 de Géométrie projective de Daniel Perrin, où la bijection linéaire $f$ d'où, avec les notations de Perrin, $p_{a,H}$ est obtenue par quotient, est clairement mise en évidence.

stfj

Un faisceau d’hyperplans est une droite de l’espace des hyperplans.

Montrer que pour tous hyperplans $H$ et $H_1\neq H_2$, on a $H\in(H_1H_2)\iff H_1\cap H_2\subset H$ .  

Soit $H$ un hyperplan tel que $H_1\cap H_2\subset H$. Soit $a\in H\setminus (H_1\cap H_2)$. Alors $(f_1(a),f_2(a))\neq (0,0)$ donc $-f_2(a)f_1(x)+f_1(a)f_2(x)=0$ est une équation de $H$. Donc $H\in (H_1H_2)$

@gai requin : j'ai essayé de répondre à ta question "Et la réciproque ?" qui m'intéresse.

Swingmustard

Bonjour @stfj,

Le 17 janvier, tu disais : "Pour l'instant, je ne vois pas l'intérêt qu'il y a à concevoir un faisceau comme une droite du dual pour trouver ce qu'il y a de linéaire là-dedans". L'exemple suivant ne répond pas à la question, mais va peut-être bien dans ce fil "Notion de faisceau".

Pour construire les intersections d'une droite avec une conique donnée par cinq points, pappus propose ici dix droites, tandis que Rolland n'en trace que six là, utilisant deux faisceaux, issus de $A$ et de $A'$.

Histoire de confirmer, j'ai refait le cercle que, pour finir, ils utilisent tous les deux.

Amicalement,

Swingmustard

stfj

bonjour @Swingmustard : pour l'instant je vois les trois droites vertes passant par $A$ appartenant au faisceau noté $A^*$ ; et les trois droites rouges passant par $A'$ appartenant au faisceau noté $A'^*$. Par ailleurs dans le chapitre II du cours de géométrie projective linéaire de Daniel Perrin, ce dernier utilise de nombreuses fois des projections centrales.

Swingmustard

Le coup du cercle, @pappus l'a rappelé en décembre. (Je ne connaissais pas.) J'ai fait un dessin caché dans le message qui suit le sien.

Je dis ça au cas où "pour l'instant je vois" signifierait "Qu'est-ce que c'est que ce cercle ?"

Ce cercle permet de répondre à la question : "Où sont les invariants d'une homographie de droite définie par trois points et leurs images ?" Ici : $B, C, D$ et $B', C', D'$.

Pour finir, pappus m'a signalé que mon projet de chercher les points $U$ et $V$ à la règle n'aboutirait pas, arguant que le problème "est du second degré". (Encore merci à lui !)

Amicalement, Swingmustard

stfj

Des points qui ne sont pas des points. Des droites qui sont des plans qui sont des hyperplans. De quoi y perdre son latin.

Bref, une tentative d'illustration de la propriété avancée par @gai requin :$H\in (H_1H_2)\iff H_1\cap H_2\subset H$

gai requin

Tu pourrais montrer un meilleur savoir-faire projectif en prenant deux droites qui ne se coupent pas en $(0:0:1)$.

stfj

@gai requin :

stfj

Avant de montrer un meilleur savoir-faire projectif , il y a un point que j'aimerais améliorer dans le document geogebra joint . Je ne maîtrise pas du tout geogebra. C'est pourquoi le document n'est pas du tout interactif. Quand on modifie le point $(5:2:1)$, l'équation de la droite projective $H$ n'est pas modifiée ni même l'"écriture texte" $(5:2:1)$. Si quelqu'un pouvait le faire, je lui en serais très reconnaissant.

Swingmustard

Bonjour stfj,

Un double clic sur ton texte "(5:2:1)" (dans le dessin, pas dans la marge) ouvre une fenêtre.

Un clic sur le "Avancé" de cette fenêtre propose quatre onglets.

Le deuxième en partant de la gauche est l'icône ggb, qui s'appelle Objets dans ma version.

Si tu cliques sur D, qui fait partie de cette liste d'objets, le texte affichera désormais ses coordonnées (5:2), au lieu de son étiquette D.

Pour obtenir (5:2:1), il est possible que (x(D):y(D):1), fonctionne, sinon on doit y arriver en remplaçant les ":" par des ",".

Amicalement,

Swingmustard

stfj

Merci beaucoup, @Swingmustard , c'est vraiment adorable de ta part. On peut dorénavant décrire à la souris tout le faisceau. Cela pourrait rendre la notion de faisceau de droites projectives quasiment accessible à une élève de lycée. J'ai vu des travaux de collègues de lycée se limitant à la notion naïve de faisceau de droites du plan. Mais un petit pas de plus et ...

Je suis de plus en plus intéressé par la vulgarisation mathématique. Je ne résiste pas à reprendre à mon compte les mots de Jean-Pierre Kahane. La démocratie de demain n'a pas besoin que tous soient mathématiciens mais elle ne peut souffrir que les mathématiques apparaissent à quiconque comme un domaine interdit.
Amicalement,
Stéphane

gai requin

@stfj : Aurais-tu des problèmes avec les droites affines ? 😉

stfj

@gai requin : Non, aucun problème : une droite affine d'un espace vectoriel réel, c'est $a+D$, avec $a$ un point de $E$ et $D$ une droite vectorielle. Ici, pour l'illustration, j'ai choisi le point $a=0$. Si tu fais référence à ma logorrhée stérile ici, c'est de bonne guerre .

gai requin

On peut aussi voir une droite affine comme la trace d’une droite projective dans la carte $\{z=1\}$.

stfj

Oui. Par exemple, dans mon illustration, la droite affine de $\mathbb R^3$ définie par $\begin{cases} y= 0\\z=1\end{cases}$ ou encore comme $(0,0,1)+\mathbb R ( 1,0,0)$ est la trace de $P(H_1)$, avec $H_1:y=0$ dans la "carte" $\{z=1\}$. C'est cela que tu veux dire, @gai requin ?

gai requin

Non, on parle de droites du plan affine réel.

stfj

Soit $(\mathcal E,E,v)$ un plan affine réel. $\dim_{\mathbb R}E=2$. Je peux considérer une droite $\mathcal D :=A+D$, où $A\in \mathcal E$ et $D$ désigne une droite vectorielle de $E$, ie $D=\{\vec{AM}=v(A,M): M\in \mathcal D\}=\mathbb R u$, avec $u\in E$. Ensuite, je sais qu'on peut plonger $\mathcal E$ dans un espace vectoriel de dimension $3$ mais je ne l'ai pas fait depuis un bail et ne me rappelle plus comment faire. Peut-être choisir une origine $O$ dans $\mathcal E$ qui transforme notre espace affine en l'espace vectoriel $E$ de dimension $2$, par transport de la structure de $E$ à $\mathcal E$, via la bijection $v_O:M\to v(O,M)$. Puis considérer $\mathbb R\times E$ . On peut alors identifier $\mathcal E$ à $\{1\}\times E$. Et enfin $\mathcal D$ peut être considérée comme la trace d'une droite projective de $P(\mathbb R\times E)$ dans la carte $\{x=1\}$. Cela a l'air de tenir la route, non ?

gai requin

Tu confonds enveloppe vectorielle et carte affine.

Le cas standard qui nous intéresse, c’est la carte affine $\{z=1\}$ de droite de l’infini $\{z=0\}$.

stfj

Je ne sais pas ce que tu appelles "carte affine". Ni même d'ailleurs "enveloppe vectorielle." C'est la raison pour laquelle j'ai mis "carte" entre guillemets tout-à-l'heure. J'ai pris "carte" comme synonyme de "plan" tout simplement.

pappus

Mon cher stfj

Enveloppe vectorielle et carte affine sont des notions bourbakistes concernant les espaces projectifs!

Difficile de s'en passer si on veut faire de la géométrie projective de façon moderne!

Amicalement
pappus

gai requin

Un exemple.

Soit $d$ la droite projective d’équation $2x+3y+z=0$.
Dans la carte affine de mon dernier message, la trace de $d$ a pour équation $2x+3y+1=0$ et son point à l’infini est $(-3:2:0)$ (surprise!).
Quel est alors le faisceau $<d,d’>$, où $d’:x-y-2z=0$ ? Illustrer dans notre carte affine.

stfj

Soit $m=(1: -1:1)$. Alors $< d,d' >=m^*$, pour reprendre des notations qu'on trouve un peu partout.

gai requin

Quel est le birapport des quatre droites tracées ?

stfj

Illustration libre dans $P((\mathbb R^3)^*)$ de la dualité projective :

stfj

Il y a $5$ droites tracées. Et il faudrait m'indiquer l'ordre des droites pour lequel calculer le birapport.

gai requin

Je te laisse choisir

stfj

Soit $\color{red}d$ la droite passant par $(-\frac12:0:1)$, $\color{RoyalPurple}d''$ celle passant par $(\frac12:0:1)$, $\color{blue}d'''$ celle passant par $(1:0:1)$ et enfin $\color{red}d'$ passant par $(2:0:1)$. Alors $[\color{red}d,\color{RoyalPurple}d'',\color{blue}d''',\color{red}d']=\frac{1.5\times1.5}{2.5\times0.5}\color{black}=1.8$

gai requin

Ok, tu as coupé ces quatre droites par l'axe des abscisses.
Que vaut donc $[\infty_d,\infty_{d''},\infty_{d'''},\infty_{d'}]$ ?

stfj

$1.8$ pareil non ? ($\infty_d\in d $ et tous ces points sont alignés sur la droite à l'infini, ie $P(\{z=0\})$.)

gai requin

Oui.
Revenons à ce qu'a raconté @GaBuZoMeu.
1) En dimension quelconque, quelle est l'intersection d'un hyperplan et d'une droite d'un espace projectif ?
2) En déduire un moyen de calculer le birapport de quatre hyperplans d'un faisceau.

stfj

1) Commençons par examiner la situation en dimension $3$: un hyperplan de $\mathbb R^3$ est un plan. Un hyperplan de $\mathbb RP^2$ est donc une droite projective. Et l'intersection de deux droites est soit un point si les droites sont distinctes, soit une droite si les droites sont confondues.

Dans $\mathbb RP^4$, un hyperplan est un plan projectif. La situation est alors la même. Idem en dimension quelconque.

2) Selon la définition de Doneddu, le birapport de quatre hyperplans d'un faisceau est, en reprenant ses notations, $[\delta(H_1):\delta(H_2):\delta(H_3):\delta(H_4)]$, où $\delta(H_i)$ sont quatre points de $P(E^*)$. Il faut que j'aille voir comment il fait pour répondre à ta question.

gai requin

1) Preuve ?