Produit de Cauchy pour les séries numériques

Bethebesteveryday

Bonjour tout le monde , svp vous pouviez m’expliquer comment on manipule pour faire le produit de Cauchy entre deux séries numériques en donnant des exemples si vous pouvez ? Ça m’échappe la méthodologie.

Dom

Commencer par multiplier $(a_1+a_2+a_3)$ par $(b_1+b_2+b_3)$, peut-être ?

On remarque que c’est une somme dont les termes sont des $a_ib_j$. Le produit de Cauchy, c’est ordonner ces termes dans un certain ordre.  

JLapin

@Bethebesteveryday
Quand tu développes le produit $(a_0+a_1+.\cdots+a_n+\ldots)\times (b_0+b_1+\cdots+b_n+\ldots)$, tu obtiens (formellement) la somme d'une infinité de termes de la forme $a_i b_j$.
Tu peux ensuite envisager (formellement) de regrouper ces termes suivant la valeur de $i+j$.
Le premier sera $c_0=a_0b_0$
Le deuxième groupement sera $c_1=(a_0b_1+a_1b_0)$
Etc.

Le théorème du produit de Cauchy de deux séries absolument convergente valide ces calculs formels : la série de terme général $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ est convergente et sa somme est le produit des sommes.

Bethebesteveryday

JLapin
D’accord merci bcp beaucoup, et si les deux séries ne convergent pas absolument comment faire leur produit ?

Dom

As-tu une question derrière la tête ? Qu’entends-tu par « faire leur produit » ?

Bethebesteveryday

Dom
Produit de Cauchy 

Bethebesteveryday

Si les deux séries convergent absolument je fais le produit des deux sinon comment procéder ?

Dom

Ok. Il se peut que le produit de Cauchy ne converge pas. Tu sais peut-être que quand une série est semi-convergente, alors changer l’ordre de ses termes peut la faire diverger. La série produit de Cauchy, si les deux séries sont semi-convergentes, pourrait peut-être réarranger les termes en une série divergente. Par contre il existe un théorème (théorème de Mertens pour les séries) qui dit que si au moins l’une est absolument convergente (et l’autre juste convergente) alors la série produit de Cauchy est convergente aussi. Je crois que ça se fait avec une transformation d’Abel. 

JLapin

Tu peux toujours définir le produit de Cauchy de deux suites. Il suffit de poser $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ pour tout entier $n$. Par contre, la convergence de la série n'est pas systématique même si les deux séries sont convergentes.

Math Coss

Plus économique (et moins précis) : si les hypothèses d'un théorème ne sont pas vérifiées, on n'applique pas le théorème !

john_john

En revanche, si deux séries convergent ainsi que leur produit de Cauchy, alors le produit de Cauchy a pour somme les produit des sommes des deux premières.

noradan

Pour justifier cette manière de définir un produit de série, ne pas oublier que c'est la façon "naturelle" de définir un produit de série entière puisque le produit de Cauchy revient simplement à calculer le terme de degré $n$. C'est aussi un produit de convolution en version discrète.

Il y a aussi le résultat suivant
Si $\sum u_n,\sum v_n$ sont deux séries alternées vérifiant le critère spécial et $w_n$ le produit de Cauchy alors $w_n$ tend vers 0, équivaut à $\sum w_n=UV$