Fonction de classe C infinie

OShine

Bonsoir

J'ai des doutes dans la question $2.c$ avec la fraction rationnelle, la question $2.d$ je sèche totalement je sens que c'est une question difficile.

2.a) $\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \psi_0 (x)= \lim\limits_{X \rightarrow -\infty} \exp (X )=0$ donc $\psi_0$ est prolongeable par continuité en $0$.

2.b)  $\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{ \psi_0(x)- \psi_0(0)}{x-0} = \lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{1}{x} \exp(-1/x)=  \lim\limits_{X \rightarrow + \infty} X \exp (-X)=0$
Donc $\psi_0$ est dérivable à droite en $0$ avec $\psi_0 '(0)=0$.
Par récurrence montrons que $\psi_0 ^{(n)} (x)= R_n(x) \exp(-1/x)$ où $R_n$ est une fraction rationnelle.
On a $\boxed{\psi_0 '(x)= \dfrac{1}{x^2} \exp (-1/x) }$ on a bien $R_0(x)=1/x^2$ qui est bien une fraction rationnelle.
On a $ \psi_0 ^{(n+1)} (x)= R_n '(x) \exp(-1/x) + \dfrac{1}{x^2} R_n(x) \exp (-1/x)$.
Il suffit de poser $\boxed{R_{n+1} (x)= R_n '(x)+ \dfrac{1}{x^2} R_n(x)}$ qui est bien une fraction rationnelle.

2.c) Montrons que $\psi_0 \in C^n( \R,\C)$ pour tout $n$.
Soit $n \in \N$. C'est une croissance comparée. 
On a $\psi_0 ^{(n)} (x)= R_n(x) \exp(-1/x)$ 
Posons $X=1/x$, ce qui donne $\psi_0 ^{(n)} (x)= \dfrac{ R_n(1/X)  }{ \exp X}$
Je ne vois pas trop comment calculer la limite à cause de la fraction rationnelle qu'on ne connaît pas.

JLapin

En utilisant la définition d'une fraction rationnelle. L'avais-tu envisagé ?

Dom

Une remarque pour 2a). 

Tu écris « … est prolongeable par continuité » mais c’est bizarre car telle que la fonctionne est définie, elle est continue sur $\mathbb R$. Il n’est donc pas question de la prolonger. 

D’autre part, tes égalités ne suffisent pas. 

Peut-être faut-il à cet endroit écrire que $0$ est justement l’image de la fonction en $0$. 

Peut-être aussi faut-il écrire un laïus qui dit « elle est continue en dehors de $0$ patati et patata ». 

OShine

Oui mais ça va dépendre du numérateur et du dénominateur, je me demande si on peut prouver directement le résultat ou s'il faut passer par une récurrence et le théorème de la limite de la dérivée.

Si $R_n(x)=P(x) / Q(x)$ la limite va dépendre de $P$ et $Q$.

OShine

@Dom oui merci tu as raison, déjà dire que $\psi_0$ est continue sur $\R^{*}$...
Puis ce n'est pas prolongeable mais directement continue en $0$ car la limite à gauche et à droite coïncident. 
Je n'ai pas trop rédigé les deux premières questions car ce sont des classiques.

JLapin

OShine a dit :
Si $R_n(x)=P(x) / Q(x)$ la limite va dépendre de $P$ et $Q$.

Comme suggéré des dizaines de fois : traite des cas particuliers pour voir.

OShine

J'ai l'impression que l'énoncé est mal posé ici  je préfère utiliser les polynômes que les fractions rationnelles, j'ai une solution utilisant les polynômes.

Dom

Heu… certes mais dans ce cas tu auras démontré un truc avec des polynômes alors qu’il faut le montrer avec des fractions rationnelles. 

Sinon on peut aussi démontrer avec des fonctions constantes tant qu’on y est 🤣

Bon, cela dit, si tu sais le faire pour des polynômes, je suis sûr que tu sais le faire pour des fractions rationnelles. Ça se passe en $0$ ou en $\infty$ donc …

OShine

@Dom un polynôme est une fraction rationnelle. Voici un effort de rédaction qui devrait te plaire.

La dernière question me semble infaisable.

raoul.S

OShine a dit :

La dernière question me semble infaisable.

C'est la plus facile plutôt... mais il faut déjà que tu dessines le graphe de $\psi_0$ pour t'en rendre compte.

OShine

Je ne vois pas à quoi peut servir le graphique...

bd2017

Bonjour 

$\psi(x)=\psi_0(x-a)\psi_0(b-x)$  répond  à la question. 

math2

Un collègue avait posé cet exercice en interro en L2, la question soi-disant difficile avait été mieux réussie que l'aspect régularité de $\psi_0$, et par plus de la moitié des étudiants. Comme quoi, tes appréciations de la difficulté sont souvent erronées.

OShine

bd2017
Dommage je ne saurai jamais comment trouver la réponse avec un dessin.

bd2017

Quand je lis  la solution de @Oshine concernant la question 2.c, je me pose des questions sur la validité de la réponse.

En effet quand je lis  "d'après  le théorème de prolongement de la dérivée"  Je ne sais pas trop ce que cela veut dire.  C'est quoi ce théorème?

Et puis les 2 ou 3 lignes qui suivent me laissent perplexe.

Pour moi @Oshine n'a pas répondu correctement à la question 2.c.  C'est trop nébuleux.

OShine

@math2
La dernière question nécessite de la réflexion alors que les 3 premières c'est du calcul et des théorèmes de cours. 

J'ai plus de mal quand il faut être autonome et quand on me dit de faire un dessin je ne sais pas comment l'utiliser pour trouver la solution.

Pour moi la dernière est la plus dure mais ça dépend des personnes.
Il y a des gens qui ont une bonne intuition et qui n'aiment pas reciter des théorèmes.

Homo Topi

Un truc qu'il vaut la peine de regarder : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_C%E2%88%9E_%C3%A0_support_compact

La question $2.d.$ est là où elle est pour une raison, il faut être un peu plus pragmatique de temps en temps. On te parle d'une fonction, nulle sur $\R_-$, qui est positive et de classe $C^{\infty}$ sur $\R$, pendant toute la question $2.$. Tôt ou tard, il faut te rendre compte que le but de la manoeuvre est de te faire utiliser cette fonction à la fin !

Nous, on veut une fonction $C^{\infty}$ sur $\R$, nulle en dehors de $]a,b[$, et strictement positive sur $]a,b[$. Partant de $\psi_0$ (que tu en censé avoir dessinée), normalement tu sais translater un graphe, donc le $\psi_0(x-a)$ doit venir tout seul. Cette fonction-là ne redescend jamais vers $0$, alors il faut la faire redescendre vers $0$. La fonction "reflétée" $\psi_0(-x)$ fait l'affaire, elle aussi translatée, d'où le $\psi_0(b-x)$. Multiplier les deux, ça donne bien ce qu'il faut. OK, il faut un peu d'intuition sur la manipulation de graphes de fonctions, mais ce n'est rien de spectaculaire. Cela dit, sans avoir essayé au moins au brouillon de dessiner $\psi_0$, c'est plus difficile de "voir" les choses.

Bibix

Je suis d'accord avec bd2017, Oshine n'a pas répondu à la question 2.c. correctement. On pourrait prendre la fonction $\psi^{(n)}(x) = \begin{cases} 1 \text{ si } x = 0 \\ 0 \text{ sinon} \end{cases}$ et son argument marcherait bien que la fonction n'est pas dérivable... . Il faut avoir la continuité au point considéré pour appliquer le théorème de la limite de la dérivée.

OShine

@Homo Topi ok merci mais quand je trace ça donne un truc bizarre, je ne comprends pas où est le problème. J'ai pris $a=2$ et $b=3$.

@Bibix
Merci pour la remarque, en effet, je dois vérifier la continuité sur $I$...
J'ai fait une récurrence, la continuité est assurée par l'hypothèse de récurrence. Par hypothèse, $\psi_0$ est de classe $C^n$ pour $n$ fixé avec $n \geq 1$. Ce qui revient à dire que $\psi_0 ^{(n)}$ est de classe $C^0$ donc continue.

Homo Topi

Ben, tu as mal translaté...

bd2017

Rebonjour

Je repose la question à @Oshine. Qu'est ce que le " théorème de prolongement de la dérivée"?  Parce qu'avant tout je ne comprends pas ta réponse à cause de l'évocation d'un théorème que je ne connais pas.

Philippe Malot

@OShine Tape ceci dans la barre de saisie de Geogebra : 
psi_0(x)=Si(x<=0,0,exp(-1/x))
f(x)=psi_0(x-a) (on va te demander de créer un curseur pour a)
g(x)=psi_0(b-x) (on va te demander de créer un curseur pour b)
h(x)=f(x)g(x)

Ensuite, cache toutes les fonctions sauf h.

Homo Topi

Je veux proposer une vision alternative de cet exercice, qui a le mérite de montrer/utiliser (selon comment on présente) des résultats de densité sur les fonctions polynomiales dans certains espaces de fonctions. C'est intéressant quand on est au niveau "fin de prépa" et pratiquement vital quand on fait de l'analyse fonctionnelle.

On me demande une fonction strictement positive sur $[a,b]$, nulle en dehors, et de classe $C^{\infty}$. Pour simplifier, je prends $[a,b]=[-1,1]$ dans mon discours. Je commence par une fonction "porte" très basique, qui n'a certainement pas toutes les propriétés qu'on me demande, mais qui a l'avantage d'être très simple.

$f_0(x) = \left\{\begin{array}{} 1 & \text{si} & x\in[-1,1] \\ 0 & \text{sinon} & \end{array}\right.$

$f_0$ a deux discontinuités en $-1$ et en $1$. Donc on n'est même pas $C^0$ pour l'instant. Patience.

J'incite le lecteur qui découvre et @OShine en particulier à prendre une feuille de brouillon, un stylo et de dessiner $f_0$.

Avant de lire la suite, regardez le graphe que vous venez de dessiner, et posez-vous la question : comment rendre ce graphe "plus lisse" ? On ne peut pas simplement tracer les segments verticaux pour rendre la courbe continue, puisque le résultat ne serait plus une fonction. Alors on dessine des "rampes affines", une qui monte de $0$ à $1$ autour de $x=-1$ et une qui descend de $1$ à $0$ en $x=1$. Faites-en un dessin. J'en propose une :

$f_1(x) = \left\{\begin{array}{} 1 & \text{si} & x\in[-1/2,1/2] \\ 2+2x & \text{si} & x \in [-1,-1/2] \\ 2-2x & \text{si} & x \in [1/2,1] \\ 0 & \text{sinon} & \end{array}\right.$

Vous pouvez entrer ces fonctions dans GeoGebra pour voir à quoi ça ressemble. Il faut visualiser soi-même le côté "par morceaux", en tout cas moi je ne sais pas définir des fonctions par morceaux sur GeoGebra. $f_1$ est continue sur $\R$ mais $f'$ est discontinue en $-1$, $-1/2$, $1/2$ et $1$ (en fait $f_1$ est affine par morceaux).

Bon, donc ma fonction $f_1$ s'approche un peu plus du résultat, mais n'est toujours pas particulièrement lisse. Alors on va remplacer les rampes affines par des rampes un peu plus arrondies, par exemple des "rampes quadratiques". Là encore, refaites un dessin avant de regarder les formules ci-dessous. En principe, votre dessin aura un truc vaguement quadratique avec des dérivées nulles en quatre points (si vous faites comme moi : $-1$, $-1/2$, $1/2$ et $1$). Voici la mienne :

$f_2(x)= \left\{\begin{array}{}8(x+1)^2  & \text{si} & x\in[-1,-3/4] \\ 1-8(x+1/2)^2  & \text{si} & x \in[-3/4,-1/2] \\ 1 & \text{si} & x\in[-1/2,1/2] \\ 1-8(1/2 -x)^2 & \text{si} & x\in [1/2, 3/4] \\ 8(1-x)^2 & \text{si} & x\in [3/4,1] \\ 0 & \text{sinon} & \end{array}\right.$

Juste pour visualiser la dérivée, je donne les formules :

$f_2'(x)= \left\{\begin{array}{}16(x+1)  & \text{si} & x\in[-1,-3/4] \\ 1-16(x+1/2)  & \text{si} & x \in[-3/4,-1/2] \\ 0 & \text{si} & x\in[-1/2,1/2] \\ 16(1/2 -x) & \text{si} & x\in [1/2, 3/4] \\ -16(1-x) & \text{si} & x\in [3/4,1] \\ 0 & \text{sinon} & \end{array}\right.$

$f_2$ est dérivable, $f_2'$ est continue, mais $f_2'$ est non dérivable (en fait $f_2'$ est affine par morceaux).

On peut continuer comme ça autant qu'on veut : on change l'approximation par une fonction "polynomiale de degré $n$ par morceaux" et on va juste décaler le problème de la dérivée discontinue d'un cran, et on n'aura j'amais un truc $C^{\infty}$. Du coup, il faut être un peu créatif (certains diront, ombral) : sur les portions qui "raccordent" le plateau où la fonction vaut $1$ aux deux bords où elle est nulle, il nous faudrait un truc "polynômial de degré infini", de préférence sans "par morceaux". Bon, ben là, le matheux doit réfléchir à une sorte de passage à la limite dans une approximation. (C'est ici que les savants parleraient de densité des polynômes.)

Le matheux un peu cultivé connait la notion de développement limité : un polynôme qui approxime très bien une fonction donnée. Le matheux cultivé un peu plus connait la notion de série entière : une série entière peut être vue comme le "polynôme de degré infini" qui approxime (égalise, en fait) la fonction. Et le matheux encore plus cultivé connait la notion de fonction analytique (développable en série entière partout). EDIT : la fonction qu'on construit n'est en fait pas analytique, j'ai voulu imager un truc ici mais ça ne marche pas parfaitement. Donc oublier le mot "analytique" ici : une fonction analytique est $C^{\infty}$, mais a d'autres particularités qu'on ne construit pas ici.

Bon ben avec tout ça, maintenant il faut bidouiller (ben oui, ce qu'on fait ça reste de l'analyse, tôt ou tard on se salit toujours les mains). On réfléchit à une fonction analytique lisse qui répondrait à nos critères. On a de la chance, on est dans un exercice où on nous a donné $\psi_0$. Une exponentielle, c'est développable en série entière, donc c'est "égal à un polynôme de degré infini" pour nos besoins ici. On a une dérivée bien lisse, pile ce qu'il faut. C'est l'exercice qui nous en donne l'intuition et la preuve.

A partir de maintenant, et il faut comprendre ça, il faut bi-dou-iller. Et l'une des premières étapes pour trouver comment bidouiller, c'est d'être familier avec les outils dont on dispose dans cet exercice, dont la fameuse $\psi_0$. Il est vital d'en faire un dessin : le cerveau humain est conçu pour prendre un maximum d'informations par voie visuelle, et de les traiter rapidement.

$\psi_0$ est nulle sur $\R_-$, moi j'ai besoin qu'elle soit nulle jusqu'à $a$, alors je translate. Je sais translater une fonction parce que j'ai validé la L1 un jour, et que ce n'est franchement pas compliqué. J'ai aussi besoin d'une fonction qui s'annule à partir de $b$, de façon lisse. Ben je prends $\psi_0(-x)$ et je translate. Maintenant j'ai deux fonctions qui font la moitié de ce que je veux. On peut faire plein de choses avec deux fonctions (additionner, soustraire, multiplier, diviser, intégrer, dériver, produit de convolution...) mais il faut se rappeler que le bon matheux est pragmatique. On sort son rasoir d'Ockham et on teste : additionner ne marche pas, soustraire non plus, multiplier... ah, multiplier ça marche. Et là ben on a terminé.

Je précise aussi que la construction que j'ai faite se trouve, à 2-3 variantes près, dans plusieurs cours d'analyse, et je suis certain que les intervenants un peu plus àl'aise que moi sur ces histoires auront des tas de choses intéressantes à raconter dessus, que j'ai zappées pendant mon exposé.

Dom

Une remarque toute simple : on a parlé de série entière ou de D.L. (En gros c’est notre ami Taylor qui est là) mais attention, la fonction construite n’est pas, en général, une fonction analytique. 

Poirot

@Homo Topi Tu vas trop loin avec tes fonctions analytiques. Une fonction analytique qui s'annulerait sur un intervalle serait identiquement nulle. Je ne trouve pas que ton image de "polynôme de degré infini" soit la bonne ici.

Homo Topi

Point taken, c'était plus une analogie qu'autre chose dans ma tête mais dans l'absolu c'est faux, en effet.

Dom

C’est disons localement que l’on a du Taylor.  C’est cela l’idée, non ? 

Homo Topi

En gros, oui. Tu pars de la fonction "porte" et tu fais un raccordement de plus en plus lisse, donc c'est conceptuellement très proche. J'ai repris mon gros pavé de texte là, entièrement de mémoire, d'un truc que j'avais fait en cours d'analyse fonctionnelle une fois en M1. Peut-être que ma version n'est pas exactement celle de mon cours, j'ai eu la flemme de déballer mes papiers.

Pour moi il y a juste l'aspect de chercher une fonction entre guillemets "infiniment polynomiale" où il faut s'autoriser de penser de manière plus créative que carrée. Qu'on trouve ce qu'il faut avec une exponentielle (la réponse en multipliant les deux $\psi_0$ là est $x \longmapsto \exp(2/(x^2-1))$), il faut trouver une manière d'y penser, l'exercice le "donne" et moi j'ai essayé de présenter une heuristique assez souple. Des fonctions $C^{\infty}$ qui tendent vers $0$ avec une dérivée qui tent vers $0$, si ça ça ne fait pas penser à une fonction égale à son propre accroissement...

OShine

@Philippe Malot
Merci beaucoup.

@bd2017
C'est plutôt théorème du prolongement d'une dérivée.
Cette question ressemble à la quesiton que j'avais posée d'un sujet de Centrale 2021 où tu m'avais donnée la solution mais je ne l'avais pas comprise.
Cette fois j'ai compris avec le graphique la logique. 
Le rapport du sujet avait dit que c'était la question la plus difficile de tout le sujet.
Si on pose $\psi(x)=\psi_0(x-a) \psi_0 (b-x)$. 

$\psi$ est $C^{\infty}$ par composée et produit de fonctions $C^{\infty}$.

• Si $x \leq a$, alors $x-a \leq 0$ donc $\psi_0(x-a)=0$ et donc $\psi(x)=0$.
• Si $x \geq b$, alors $b-x \leq 0$ donc $\psi_0(b-x)=0$ et donc $\psi(x)=0$.
• Si $a < x <b$ alors $x-a>0$ et $x-b>0$ donc $\psi_0 (x-a) >0$ et $\psi_0(b-x)>0$ et finalement $\psi(x)>0$.

OShine

J'ai une lacune importante qui m'a empêché de faire la dernière question, je ne comprends pas comment construire graphiquement $f(-x)$ quand on a celui $f(x)$.

Par exemple, comment construire $\exp(-x)$ à partir de $\exp(x)$ ? 

GaBuZoMeu

Bonjour

Quelle transformation du plan fait passer de $(x,f(x))$ à $(-x,f(x))$ ?

NicoLeProf

Bah au pire tu vas sur GeoGebra OShine, tu traces les graphes des fonctions : $x \longmapsto \exp(-x)$ et $x \longmapsto \exp(x)$ et tu constates ce qu'il se passe.

OShine

@GaBuZoMeu
Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées mais je n'ai pas compris le $(-x,f(x))$ ici on a du $f(-x)$...

@NicoLeProf
Je l'ai fait mais j'essaie de comprendre pourquoi la courbe de $f(-x)$ est la symétrique de celle de $f(x)$ par rapport à l'axe des ordonnées.
Sinon ces questions sont issues de ENS maths C 2007. 

@bd2017 voici le nom exact du théorème donné dans le rapport du jury.

Homo Topi

Ce n'est pas vraiment un théorème qui porte un nom quand on l'applique à une dérivée. Ce dont ils parlent ici, c'est : si $f'$ est une fonction continue, dont les limites en $a^+$ et et $a^-$ coïncident, alors appelons $l$ cette limite et définissons $f'(a)=l$. C'est juste un prolongement par continuité, appliqué à la fonction supposée continue $f'$.

Sinon pour ces histoires de symétries. Disons que tu disposes d'une fonction $f$. Maintenant, tu définis une fonction $g$ par $g(x)=f(-x)$. Il suffit de regarder sur 2-3 points ce qu'il se passe : $g(0)$ sera égal à $f(0)$, $g(1)$ sera égal à $f(-1)$, $g(-1)$ sera égal à $f(1)$... tu es d'accord que "ça se voit" sur un dessin que les graphes de $f$ et $g$ seront symétriques par rapport à l'axe des ordonnées ? La version de @GaBuZoMeu ne fait rien d'autre que de traduire la même chose. Le point de coordonnées $(x,f(x))$ sur la courbe de $f$ est envoyé sur son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $(-x,f(x))$ : même ordonnée, abscisse opposée.

Dans beaucoup de cours d'analyse, surtout en prépa, on voit assez tôt ces histoires de transformations de graphes de fonctions, pour avoir des outils pour réduire le domaine d'étude. Les symétries, la périodicité, les translations etc. Peut-être dans un chapitre sur les courbes paramétrées. En tout cas ce n'est vraiment pas hautement complexe, il suffit de l'avoir vu une fois. Si tu ne l'as encore jamais vu, alors découvre ça maintenant !

bd2017

@Oshine Maintenant je comprends mieux  le résultat que tu as voulu  utiliser et il est désigné comme un "théorème". Il y a quelques  résultats comme celui là,  assez  standards,  mais pas forcément connus par tous sous la désignation de "théorème".  Cela peut expliquer ma difficulté à comprendre tes explications. 

Dom

Ce passage est presque contradictoire (si l'on peut pinailler, on est dimanche soir) : je mets en gras ce qui m'interpelle
si une fonction est continue, dérivable sauf peut-être en un point et dont la dérivée admet la même limite à gauche et à droite de ce point, alors elle est dérivable également en ce point et sa dérivée y est égale à la limite connue.

Voilà ce que je lis dans les cas ou le "peut-être" vaut "non" : 
si une fonction est dérivable sauf en un point alors elle est dérivable également en ce point

Certes, le "peut-être" permet un flou acceptable. Cela m'a amusé, c'est tout. Et le "sauf" n'est pas celui que l'on croit. Car "dérivable sauf" signifie "dérivable ici mais pas là".

Il me semble que c'est plutôt : si une fonction est continue, dérivable sur un intervalle privé d'un point intérieur à l'intervalle et dont la dérivée admet la même limite à gauche et à droite de ce point, alors elle est dérivable également en ce point et sa dérivée y est égale à la limite connue.

OShine

@Homo Topi 
Je ne comprends pas la technique du $(-x,f(x) )$ ici on a du $f(-x)$.
J'avais un cours sur ça dans le tout en un mais ce n'étais pas trop clair, donc je ne retiens jamais rien, sauf le $f(x-a)$ qui translate de $a \vec{i}$ ça je retiens.
Et aussi le $f(x)+b$ qui est une translation de vecteur $b \vec{j}$.

Homo Topi

C'est le genre d'énoncés imprécis accompagnés d'un "roh nan mais ça va on comprend" juste parce que c'est chiant de l'écrire proprement

Homo Topi

@OShine tu t'embrouilles entre les deux fonctions, c'est pour ça que j'en ai appelé une $g$. Considère une fonction $f$ et appelle $g$ la fonction dont la courbe est la symétrique de celle de $f$ par rapport à l'axe des ordonnées. Puis réponds aux questions :

a) En quel point la fonction $g$ vaut-elle $f(x)$ ? En quel point vaut-elle $f(-x)$ ?

b) Pour tout $x$, que vaut $g(x)$ ? Que vaut $g(-x)$ ?

raoul.S

OShine a dit :

@Homo Topi 
Je ne comprends pas la technique du $(-x,f(x) )$ ici on a du $f(-x)$.

C'est parce que tu ne t'es pas rendu compte que $\{(-x,f(x))\mid x\in \R\}=\{(x,f(-x))\mid x\in \R\}$...

bd2017

Vu qu'on est dans le pinaillage du dimanche.   Je n'ai pas trop compris le discours de @Homo Topi avec   l'histoire de polynôme de degré infini. Et puis ensuite le bidouillage qu'il faudrait faire.  @Homo Topi  peut-être que tu es parti de la "fonction triangle" (je reste vague sur cette fonction pour aller plus vite car je pense que tu devines de quoi il s'agit). On désigne par $f_0$  cette fonction. Ensuite on considère $f_1=f_0*f_0$  qui est polynomiale par morceaux et elle est plus régulière.  Il y a un  problème c'est que le support s'élargit. Donc on peut bidouiller $f_1$  (par dilation ou contraction afin d'avoir une support fixe).

Je désigne toujours par $f_1$  cette fonction après  modification.   Et on recommence  $f_2=f_1* f_0$ et on s'arrange toujours pour avoir toujours le même support.

La question est alors :  est-ce que  par ce procédé  (en précisant le bidouillage) on obtient une suite de fonction $f_n$  qui converge vers une fonction $\psi$ qui répondrait à la question ?

OShine

@Homo Topi ça reste flou.
1) $g(-x)=f(x)$
$g(x)=f(-x)$
2) $g(x)=g(-x)$

@raoul.S
D'accord merci.

Dom

J'ai compris qu'il décrivait assez bien la démarche. On "lisse une discontinuité" avec des bouts affines. On "lisse la dérivabilité" avec des morceaux de degré 2, on "lisse" de plus en plus. À chaque fois ça se fait avec un polynôme de degré supérieur.
C'est pour cela qu'il dit "polynôme de degré infini". On a le droit de dire que c'est maladroit mais du coup, comme c'est une description de méthode, ça ne me dérange pas trop qu'on le dise ainsi. 
En gros, "lisser" c'est rendre régulier. Pour tout $k$ on peut trouver un polynôme de degré $k+1$ ($k+2$ ? zut je m'embrouille...) pour que la fonction soit $C_k$.
La question est : peut-on faire une fonction $C_{\infty}$ avec ce procédé (d'où la vulgarisation, dangereuse si l'on veut, avec un polynôme de degré infini) ?
C'est en d'autres termes la question que tu poses, bd2017 à la fin de ton message.
Il me semble que la réponse est "non", ça ne converge pas (mais dans quel sens d'ailleurs ?).

OShine

Un sujet de Centrale MP qui contient des questions similaires mais la dernière question semble plus ardue, le rapport dit que c'est la question la plus difficile du sujet et que les candidats qui ont fait simplement un graphique avaient des points.
Mais je me demande quel graphique faire ? Peut-on la résoudre avec la même méthode que l'exercice d'avant ? 

Q27) Déjà traitée.
Q28) $\forall t \in \R \ \psi(t)=\varphi(1-t^2)$. En effet, $\forall t \in \R \ t \in [-1,1] \ t \in ]-1,1[  \Leftrightarrow \ 1-t^2 >0$.
Donc $\psi$ est de classe $C$ infinie comme composée de fonctions de classe $C$ infinie.
Q29) $\theta$ est une primitive de $\psi$, elle est dérivable et $\theta'=\psi$. $\psi$ est de classe $C$ infinie et donc $\theta$ aussi. 
$\forall t \in ]-\infty,1] \cup [1,+\infty[$ on a $\theta'(t)= \psi(t)=0$.
$\forall t \in \R \ \theta'(t)= \psi(t) \geq 0$ et l'inégalité est stricte pour $t \in ]-1,1[$.
$\theta$ est donc strictement croissante sur $[-1,1]$ et $A= \theta(-1) < B= \theta(1)$. Donc $A \ne B$.

Homo Topi

@bd2017 dans son dernier message, @Dom a bien résumé ce que j'essayais de raconter. J'admets volontiers avoir mélangé maths précises et "explications avec les mains". Forcément, ça en dérange certains, mais mon message était déjà bien assez long, donc je me suis dit : ce que je raconte n'est pas si compliqué que ça, s'il y a une imprécision ou deux, ça va, on comprend quand même. Le but est surtout de faire des dessins et de réfléchir à la méthode qui est derrière, si la méthode ne construit pas forcément la fonction "limite" qui répond à la question avec précision, elle met quand même sur la voie de ce qu'il faut trouver. En tout cas moi j'avais ça dans mon cours une fois, et je trouvais ça assez compréhensible.

Et même si effectivement l'idée de la convolution est plus propre (et j'y ai fait une rapide allusion, d'ailleurs), vu que OShine n'a pas tous les outils pour comprendre le "fond" de ce qu'il se passe avec des convolutions successives, j'ai pris le parti de faire sans dans mon histoire. C'est légitime de le critiquer, tout à fait d'accord, mais là c'était un choix pédagogique assumé de ma part.

julian

Bon, o shine, pourquoi ne pas tenter le concours isup ? Il y a pas mal d'analyse, de probabilités, et un soupçon d'algèbre. D'ailleurs, je te suggère d'aller voir le sujet d'algèbre et leurs représentations, sujet 2, année 2010,sauf erreur de ma part. 

OShine

Ils sont durs les sujets d'isup, c'est plus dur que Centrale.
Je me rappelle avoir galéré sur les montées de permutation, et la formule de Worpitzky.

bd2017

@Homo Topi ce dont  tu  parles est intéressant en soi-même.  Mais est-ce que savoir construire des  fonctions polynomiales par morceaux de classe $C^k,$  à support compact, va permettre de construire une  fonction  qui satisfait le même critère que $\psi_0.$   C'est peut être possible par un certain  passage à la limite mais ce n'est pas évident à première vue. Si  on ne fait pas cela, je ne vois pas en quoi ça aide à trouver une solution d'autant plus que $\psi_0$ est une solution simple, bien connue, et de plus elle est donnée.  Ou alors je n'ai pas compris le sens de ton message.

raoul.S

OShine a dit :

Peut-on la résoudre avec la même méthode que l'exercice d'avant ? 

C'est à quelques détails près la même méthode que pour l'exo précédent. Il faut juste ajuster un peu la fonction $\theta$ d'abord.

PS. Tiens pour ton poil dans la main, ça peut servir 🤣

Homo Topi

@bd2017 puisque je parlais d'alternative, imagine que $\psi_0$ ne soit justement pas donnée, et qu'il faille bidouiller par soi-même. Moi mon cerveau bidouille comme ça, j'ai appris ça un jour et j'ai voulu le re-raconter. L'histoire des raccordements de plus en plus lisses avec des polynômes, moi ça m'avait incité à chercher un truc "plus lisse que les polynômes" et dont la dérivée s'annule pile quand il faut. "Inventer" la fonction $\psi_0$ sans rien me parait plus difficile que d'essayer de bidouiller un truc pour se rendre compte de certaines conditions sur la fonction recherchée, et de trouver la bonne idée petit à petit comme ça.

OShine

@raoul.S
On cherche une fonction $f : \R \longrightarrow \R$ et $C$ infinie telle que $f([-1,1]) \subset ]- \infty,-1]$ et $f( \R \backslash [-2,2] ) \subset [1,+\infty[$.
Posons $f(x)=x^2-3$ 

• Si $x \in [-1,1]$ alors $f(x) \in ]-\infty,1]$ donc $\theta \circ f(x)=A$
• Si $x \in \R \backslash [-2,2]$ alors $f(x) \in [1,+\infty[$ donc $\theta \circ f(x)=B$.

Posons $\boxed{\rho(x)=\dfrac{ \theta \circ f(x)- B}{A-B}}$ ce qui est possible car $A \ne B$.

$\rho$ est de classe $C$ infinie sur $\R$ car $\theta \circ \rho$ l'est par composée de fonctions de classe $C$ infinie.

• $\forall x \in [-1,1]$ on a $\rho(x)=\dfrac{A-A}{A-B}=1$.
• $\forall x \in \R \backslash [-2,2]$ on a $\rho(x)=\dfrac{B-B}{A-B}=0$.

Voici le dessin pour trouver $f$.