Somme des chiffres d'un nombre

Chronixal

Bonjour,

Question un peu naïve aujourd'hui (qui admet probablement une réponse simple mais je ne comprends pas pourquoi ce phénomène se produit) : 

Si l'on prend un nombre à 3 chiffres, comment se fait-il que la somme des chiffres de ce nombre est égale à la somme des chiffres de la somme du nombre sans son chiffre des unités à laquelle on ajoute son chiffre des unités ?

Exemple : 123

1+2+3 = 6
Et 12+3 vaut 15, et 1+5 = 6

Autre exemple : 214

2+1+4 = 7
Et 21+4 vaut 25, et 2+5 = 7

Dernier exemple : 437

4+3+7 = 14, et 1+4 = 5
43+7 = 50, et 5+0 = 5

Si quelqu'un peut m'éclairer.

Dom

Peut-être qu’avec des congruences modulo dix on a la réponse. Sais-tu ce que cela veut dire ?

Édit : hum… ai-je répondu trop vite 🤔

C’est modulo neuf !

Chronixal

C'est une degression des puissances de dix, mais difficile à écrire proprement ...

Ça fonctionne pour un nombre à n chiffres et je trouve ça assez curieux

Pomme de terre

Il y aura toujours égalité modulo 9 car $10a + b \equiv a + b \ [9]$ (et tout entier est congru à la somme des ses chiffres modulo 9).

Mais pas égalité stricto sensu dans tous les cas : pour $555$ par exemple, $15 \neq 6$.

Dom

Oui je m’étais trompé. 

Modulo dix, c’est bidon car on a l’égalité $379=179$. 

Regarder chaque chiffre c’est regarder modulo neuf. 

En effet :
 modulo neuf, $10=1$

donc quel que soit $k$, $10^k=1$  

donc quel que soit les chiffres $a_i$, $\sum a_i10^i=\sum a_i$.

Amusant : donc on peut même changer l’ordre des chiffres dans un nombre, ça donne la même somme des chiffres… heu… mais ça c’était évident !!! On pouvait l’annoncer avant tout ce blabla.

lourrran

Tu devrais trouver des démonstrations de cette propriété en cherchant 'preuve par 9'. Il fut un temps où tous les élèves de primaire connaissaient cette propriété. 

Math Coss

Tiens, la dernière remarque de @Dom me rappelle une énigme amusante.

Fait : le nombre $2^{29}$ s'écrit avec neuf chiffres distincts. Calculer de tête celui qui manque.

nicolas.patrois

"".join(sorted(set(str(2**29))))

gerard0

Effectivement, ça se fait de tête. La somme de tous les chiffres est ...

Cordialement.

NicoLeProf

La somme de tous les chiffres est $41$ je dirais donc l'absent est $4$ sauf erreur de calcul de ma part... ^^'

Médiat_Suprème

Je ne sais pas quelle est la somme, mais $2^{29}$ est congru à 5 modulo 9, donc le manquant est $9-4=5$

[Edit}Faute de frappe, il faut lire $9-5=4$ 

Dom

$2^{29}=(2^6)^4\times 2^5$

$2^6$ donne $1$ modulo neuf. 

$2^5$ donne $5$ ou $-4$. 

Modulo neuf, ça donne : $1\times 1\times 1\times 1\times (-4)$ soit $-4$. 

La somme de chaque chiffre est $9\times 10\div 2$ ce qui donne $45$ soit, modulo neuf, $0$. 

Modulo neuf, si on note $c$ le chiffre que l’on cherche, ça donne : $0-c=-4$. 

Julia Paule

La somme de 9 chiffres tous distincts est comprise entre 36 et 45, et 2^29 est congru à 5 modulo 9, donc la somme est 41, le chiffre manquant est 4.

NicoLeProf

Oui voilà c'est $4$ . J'ai raisonné exactement comme Julia Paule !!! ^^'

Dom

Je préfère $-4$ à $5$ 😏

gerard0

Rappel : les chiffres sont 0,1,2, ... 9 qui correspondent aux nombres 0,1,2, ... 9 dont la somme est divisible par 9. Un calcul effectif de 2^29 montre que 5 est bien présent (c'est le premier chiffre).

Cordialement.

Médiat_Suprème

Il y a une erreur dans la dernière partie de mon message précédent, il fallait lire $9-5=4$

gerard0

Effectivement, on voyait bien qu'il y avait une erreur de frappe.

Math Coss

On ne peut rien vous cacher. J'espère que cette jolie énigme vous a amusées !

Fin de partie

La somme des nombres de $1$ à $9$ est congrue à $0$ modulo $9$.

$2^{29}=(2^3)^9\times 4\equiv (-1)^9 \times 4\equiv -4\equiv 5\mod{9}$

$9-5=4$ c'est le chiffre manquant.

Dom

Ha oui ! J’ai cherché $1$ mais $-1$ c’est bien aussi.