Quatre points cocycliques
Bonjour,
1. ABCD un carré
2. E, F deux points resp. de [AB], [AD] tel que le triangle CEF soit équilatéral
3. G le milieu de [CF]
4. H le point d’intersection de (GA) et (EF)
5. F’ le pied de la perpendiculaire à (CD) issue de H.
Question : F’, H, G et F sont cocycliques.
Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
encore un cas particulier du théorème de Reim si on a prouve que (JE) est parallèle à (AC)...
Sincèrement
Jean-Louis
cercle de diamètre [JH] et cercle de centre B passant par K...(JH) // tangente à ce dernier cercle en A
Sincèrement
Jean-Louis
Je propose une application du théorème de Reim, si l'on suppose acquis que le cercle construit est tangent au côté gauche du carré.
Il s'agit plus d'une illustration que d'une démonstration, à moins que l'on prouve que les points K, H, G et C sont cocycliques.
J'avais également exploré la voie de trois cercles sécants sans grande conviction.
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
J'utilise les coordonnées barycentriques.
$A, B, C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\0\\0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\1\\0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\0\\1\end{array}\right].$
On a : $a = c, b = \sqrt{2}a.$
$D\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\-1\\1\end{array}\right].$
$G\simeq \left[\begin{array}{c} -2 - \sqrt{3}\\1 + \sqrt{3}\\-3 - 2 \sqrt{3}\end{array}\right].$
$F\simeq \left[\begin{array}{c} -2 - \sqrt{3}\\ 1 + \sqrt{3}\\-1 - \sqrt{3}\end{array}\right].$
$E\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\1 + \sqrt{3}\\0\end{array}\right].$
$EC^2 = EF^2 = CF^2 = 4c^2(2-\sqrt{3}).$
$H\simeq \left[\begin{array}{c} -19 - 11\sqrt{3}\\5 + 3\sqrt{3}\\-12 - 7\sqrt{3}\end{array}\right].$
$F'\simeq \left[ \begin{array}{c} -19 - 11\sqrt{3}\\19 + 11\sqrt{3}\\-26 - 15\sqrt{3}\end{array} \right].$
Comme $(19 + 11\sqrt{3}) \times 1 + (-7 - 4\sqrt{3}) \times ( 1 + \sqrt{3}) + (-19 - 11\sqrt{3})\times 0 =0$, on obtient $E$ est sur $(F'O).$
$(-19 - 11\sqrt{3}, -45 - 26\sqrt{3}, -19 - 11\sqrt{3})$
$(0,1,0)$
Cordialement.
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Generation 4.pdf
Sincèrement
Jean-Louis