1/f est Fréchet-différentiable

Nora-math

Bonsoir, pour une fonction $f$ Fréchet différentiable, je veux montrer que $1/f$ l'est aussi. 
$\displaystyle \frac{1}{f(a+h)}-\frac{1}{f(a)}=\frac{f(a)-f(a+h)}{f(a+h)f(a)}=\frac{-L(h)}{f(a+h)f(a)}+o(h)$
Peut-ont considérer la partie linéaire $\dfrac{-L(h)}{f(a+h)f(a)}$ ?
Merci.

Alain24

Bonjour, comme il y a une division je suppose que $f$ est à valeur sur un corps, ce corps est-il $\mathbb{R}$?

Nora-math

Oui bien sûr et $f$ est non nul (j'ai oublié de le préciser je m'excuse).

math2

Ce n'est pas linéaire (en général) à cause du $f(a+h)$ au dénominateur. Il convient donc de le remplacer par son expression définissant la différentielle, et travailler directement.
Si tu as déjà vu la formule de composition, personnellement je procéderais avec cette dernière plutôt qu'à la main.

P.2

Pour simplifier je pose $A=f(a)$ et $L=L(h)$ Puisque $f(a+h)=A+L+h\epsilon(h)$ avec $\epsilon(h)\to _{h\to 0}0$ $$\frac{1}{A+L+h\epsilon(h)}-\frac{1}{A}+\frac{L}{A^2}=h\epsilon_1(h),$$ avec $$\epsilon_1(h)=\frac{(-A+L)\epsilon (h)+\frac{L^2}{h}}{A^2(A+L+h\epsilon(h))}\ \xrightarrow[h\to 0]{}\ 0.$$

math2

Dans le message de P.2, il faut absolument mettre des normes sur les $h$ qui précèdent les $\varepsilon(h)$ et $\varepsilon_1(h)$. Au passage, on voit une division par $h$, et donc par un vecteur !

Je ne vérifie pas le reste, car pédagogiquement je pense qu'il faut mieux laisser réfléchir un peu le demandeur au niveau de son premier message plutôt que de lui faire tout le travail dès le début.

P.2

Merci math2 de nous rappeler qu'il faut des normes. La formule est encore plus incorrecte si $f$ est à valeurs dans les matrices par exemple. Mais rien  n’étant précisé dans l’énoncé, on met les hypothèses au plus simple en allant de $\R$ dans $\R.$ Quant à 'laisser réfléchir', chacun son style.

math2

Disons que comme il parle de $1/f$, l'e.v.n. d'arrivée est raisonnablement $\R$, et d'ailleurs c'est confirmé  dans les premiers messages, tandis que pour l'espace de départ il n'y a vraiment aucune raison (sinon l'intérêt de parler de différentiabilité est très limité sur cet exemple). 

math2

Pour que ce soit clair pour Nora-math, il faudra faire attention dans l'expression de P.2 que $L$ dépend en fait de $h$, c'est pour cela que $L^2/||h||=L(h)^2/||h||$ tend bien vers $0$.

J'avais mal lu ce point et donc écrit des bêtises, que j'ai supprimées.

Nora-math

J'ai tres bien compris merci beaucoup