Enseigner la géométrie en 2023 : quelle place pour l'algèbre linéaire ?

Rescassol

Bonjour,

Ce n'est pas du charabia, Lourrran, comme toute langue, les mathématiques exigent qu'on en connaisse le vocabulaire.

Cordialement,
Rescassol

raoul.S

Mathurin a dit : 

Je l'ai découvert dans le supérieur à l'occasion d'un cours de physique, je ne voulais pas croire que j'avais pu être privé de quelque chose d'aussi simple !

Moi je l'ai (re ?)-découvert lors d'un cours d'appui que je donnais à un élève... quelle honte

Vassillia

@Mathurin Ben justement, en géométrie expérimentale, on ne démontre rien et dans les faits, c'est ce qu'il se passe au collège ou presque.
Pour ce théorème, je connaissais son existence mais je n'ai aucun mérite, je l'ai lu il n'y a pas longtemps https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/645141/#Comment_645141 et la démonstration force brute me convient, je ne sais pas laquelle tu vas préférer ?
Perso, c'est plutôt, ce genre de calcul que je regrette de ne pas voir appris dans le supérieur (pas avant ou alors vraiment pour quelques calculs vraiment faciles). Avec ça, on résout quasiment tous les problèmes de géométrie plane à condition d'en payer le prix en gros calculs tout de même.

stfj

merci @JLapin pour cette démonstration : je la trouve très jolie . merci. Je suis en train de lire Daniel Perrin et je crois que je vais me pencher sur l'utilisation des triangles semblables.

Mathurin

@Vassillia ,
Le problème avec la démonstration force brute c'est qu'elle ne permet pas d'intuiter (de "comprendre" on dirait aujourd'hui en novlangue), la démonstration classique, oui. Merci pour avoir retrouvé cet ancien fil très intéressant.

Vassillia

Ben non pour la même raison que tout à l'heure.
Pour comprendre ou intuiter, on fait un joli dessin Geogebra et on voit bien que l'angle ne change pas quand le point parcourt l'arc de cercle, c'est faisable dès la 6ème voir même la primaire si on donne une définition naïve d'angle.
Démontrer, c'est autre chose, je ne dénigre pas la démonstration classique, elle est jolie mais elle ne permet pas de progresser, juste de se dire "ah oui c'est malin comme manière de faire" mais ce ne sera pas reproductible pour un autre problème, la force brute, si !

Mathurin

ben non pas vraiment d'accord :

- le dessin n'apporte pas vraiment de compréhension (amha), ni même de certitude : cela reste mystérieux !

- il est vrai que la démonstration classique "ne donne pas une méthode générale", mais on la comprend facilement. Après la force brute : cela reste mystérieux !

Vassillia

Je suis d'accord sur le coté mystérieux du dessin mais on le constate donc on l'intuite (et c'est en ce sens qu'est utilisé le mot comprendre en novlangue)
Je suis également d'accord sur le coté mystérieux de la force brute tel que c'est présenté par @pldx1 mais justement, c'est en cherchant à comprendre pourquoi ça marche (j'entends par là la méthode générale pas juste une astuce pour un cas particulier) qu'on va progresser, bien sûr qu'à un moment ou un autre il va falloir faire un cours théorique sur ce sujet mais j'imagine que ce n'était pas son propos.

On est d'accord qu'on parle de post-bac, avant le bac, on se satisfait d'utiliser des outils et de se faire une image mentale pas trop catastrophique des objets utilisés, il n'y a rien à comprendre tel que tu l'entends (enfin moi je n'ai jamais rien compris, on fait comme ça parce que le prof dit que faut faire comme ça et basta) et comble de l'ironie, on n'a même pas les outils les plus performants, voir cette histoire d'intersection de droites à partir des coordonnées des points.

Dom

À propos de démonstrations, ce que l’on peut faire à des CM ou des 6e sur la symétrie axiale. 

Matériel :  Une feuille de papier. 

Partie I :  on place deux points distincts A et B. 

1) on plie et chacun se dit qu’il n’y a qu’un seul endroit où l’on peut plier afin que A se superpose à B.
C’est dangereux : ce n’est pas parce que je ne trouve qu’une seule manière qu’il n’en existe qu’une seule. 

Premier axiome : on admet qu’il n’y a qu’une seule droite…

Partie II : on trace [AB], on place un point M sur cette droite, et le point H d’intersection de (AB) avec la droite (pourquoi une intersection d’ailleurs ?)

2) on plie …  A->B et B->A
H->H
[HA]->[HB] donc H est au milieu de [AB]

Angle(IHA)->Angle(IHB) donc les droites sont perpendiculaires

Partie III : on appelle cette droite « médiatrice de … » et on définit la symétrie mathématiquement désormais. 

On admet que définie comme ça, ça marche et ça a les propriétés « ça se superpose ». 

gerard0

Lourran,

à l'époque où ce théorème était enseigné, les notions de "angle inscrit" et "angle au centre" étaient connues des élèves, et on écrivait beaucoup, en français, ce qui permettait une bonne mémorisation. Et ta formulation est fautive lorsque le triangle ACB possède un angle obtus en C.

Cordialement.

NB. Éviter d'appeler "charabia" le vocabulaire qu'on n'a pas appris.

gerard0

Vassillia, la partie algèbre linéaire était ressentie comme très artificielle par les élèves, puisqu'il fallait (et suffisait) de faire "fonctionner" les définitions sans se poser la question "de quoi ça parle". Certains élèves aimaient bien, c'est généralement ceux qui passaient ensuite les bacs C et E, d'autres attendaient que ça se finisse, ce qui ne les empêchait pas de continuer en premières F ou G.
Cordialement.

Dom

Dans le milieu des années 90, l’angle inscrit était enseigné en S option Spécialité Maths. Avec les égalités d’angles modulo $\pi$ (et la vanne « c’est à $\pi$ près ça »). 

Dans ce même enseignement, des rudiments sur les coniques (je ne me rappelle plus trop quoi à part les définitions « foyer/directrice »).

En effet, il y a des énoncés « en français sans lettre » et d’autres « avec des lettres ». Je ne sais pas lesquels sont les mieux adaptés aujourd’hui. Je me dis qu’avant, comme la langue était mieux maîtrisée, ça devait toucher un plus grand nombre d’élèves. Aujourd’hui j’en suis bien moins sûr. Et les énoncés plus formels ne sont pas mieux compris…

stfj

Je travaille en réseau d'éducation prioritaire. Lassé de réclamer sans l'obtenir que les élèves apportent un compas, j'ai fait systématiquement tracer le "cercle" de centre $0$ et de rayon $5$, $$\mathcal{C}(0,5):=\{(5,0),(4,3),(3,4),(0,5),(-3,4),...,(4,-3)\}$$ Et j'ai fini par me rendre compte que l'exploitation de $\mathcal{C}$ me permettait de montrer dès la 6è des résultats qu'on voyait alors en 3è, pour tenter de convaincre mes élèves de 6è que la géométrie de 6è ne se réduisait pas à :"Si $A||B $ et $C||A$, alors $B||C$".

Dom

« Lassé de réclamer sans l'obtenir que les élèves apportent un compas » 

Hehe, j’avais un peu deviné… 
Aussi que penser des élèves peu nombreux, qui eux l’on toujours sur eux ? 

Je ne te montre pas du doigt, c’est parfois très difficile, rien que pour avoir du matériel… (ne serait-ce qu’une règle, voire quelque chose pour écrire).

stfj

Illustration : hexagramme mystique de Pascal ( faisable et fait en 6è)

stfj

@Dom : ils ont tous un compas puisque en début d'heure, je mets un compas, une règle,... achetés par le collège sur chaque tablée. Cela irrite bien quelques fainéants qui piquent la vis de blocage du stylo rendant le compas inutilisable mais comme disait Einstein, il y a deux choses infinies....

stfj

$\{A,B\}$ a deux axes de symétrie : $(AB)$ et méd$(A,B)$ : c'est $(\mathbb Z_2,+)$

Dom

Ha ça, la confusion entre « gratuit » et « payé par les autres », c’est un mal récurrent. 
1) offrir quelque chose, ça devient un dû…
2) utiliser quelque chose d’offert c’est utiliser quelque chose sans valeur
Même quand le matériel est prêté dix minutes, il peut être rendu dégradé. Pas nécessairement par malveillance consciente. 

S’il est acheté 0,01 €, ça change presque tout mais « c’est pas bien ». 

Une remarque : pour 0,99€ on trouve le lot « règle + équerre + rapporteur », de très bonne qualité.  

Pour les compas, c’est difficile de trouver un matériel robuste pas trop cher.

Revenons a nos moutons : je me dis que s’ils l’avaient eu à chaque heure sur leurs tables tu n’aurais pas décidé toutes les choses dans ce fil… ça met en nuance toute ton argumentation.😏

stfj

Je ne l'ai pas fait mais je ne vois pas ce qui empêche de faire réaliser cette illustration en classe de 6è : hexamys 

Vassillia

Pauvre @Dom je le sens découragé, les lycéens ont tous du calcul formel intégré à leur calculatrice mais ils n'ont pas de compas (moi la première je crois que je n'en ai même plus chez moi).
Faisons contre mauvaise fortune bon cœur, adaptons nous à notre époque au lieu de nous plaindre.
C'est joli l'hexagramme mystique de Pascal mais j'imagine que c'est juste à contempler pour le collège, pour vous c'est démontrable en quelle classe et avec quels outils ? 

stfj

J'ai fait jouer mes 6è au jeu des hexamys proposé par Raymond Pouzergues pour des enfants à partir de dix ans : cela fonctionne. Pour l'hexamys le plus simple, on obtient le théorème de Pappus. Il faut lire l'article. Disons que l'élève de 6è/5è peut faire des raisonnements mathématiques très partiels mais c'est déjà ça. Quant à l'élève de 3è, dès qu'il dispose du théorème de Thalès, comme le montre Raymond, on peut envisager d'aller très très loin dans un raisonnement mathématique de qualité.

Dom

C’est drôle Vassillia comme tu choisis de parler encore des personnalités. En l’espèce, encore une fois, je ne parle pas de moi donc inutile de tenter ta manière de dénigrer (c’est limite condescendant mais passons). Je viens de mettre la puce à l’oreille aux lecteurs de ce fil : à gros trait, comme les élèves n’ont pas de matériel à chaque heure, on trouve autre chose à leur faire faire. On propose donc une autre école à ces élèves là qu’à d’autres. L’argument « algèbre linéaire » a bon dos. Et en disant cela, oui, je n’attaque nullement le prof qui fait ça. Il faut se coller à de métier dans des zones difficiles avant de donner des leçons (que je ne donne pas ! au contraire je dis qu’à l’impossible, nul n’est tenu). 

NB : tu t’es trompée, non ? on parlait encore « collège » il me semble dans cette histoire de compas, cercle « 3/4/5 », etc. 

Vassillia

@stfj Ah d'accord, j'ai lu la ref http://hexamys.free.fr/ tu admets cette propriété pour leur faire démontrer des choses selon la méthode des hexamys en choisissant une droite de l'infini.

Il faut admettre que c'est pas mal efficace et ludique, merci pour le partage.

@Dom Désolée, je ne voulais pas te vexer mais ton "met en nuance l'argumentation" m'a fait rire car pour moi c'est juste la base de s'adapter mais c'est sans importance, passons et en ce qui me concerne, mes élèves ont tous largement les moyens et je veux quand même leur proposer une autre école que celle à l'ancienne en effet mais c'est un choix.

Dom

Mais non, comment être vexé par des propos sur un forum ? 

S’adapter, oui. 

Mais c’est comme en Français quand on remplace Molière ou La Fontaine par Booba…
C’est « remplacer » qui ne me va pas. Faire de tout, ça me va bien. 

stfj

C'est de la géométrie élémentaire, qu'on peut se contenter d'appréhender par la géométrie d'Euclide/Hilbert mais c'est  bourré d'algèbre linéaire : quand tu utilises le triplet pythagoricien $(3,4,5)$ pour faire réaliser des angles inscrits dans un cercle tous égaux à la moitié de l'angle au centre ou un hexagramme mystique de Pascal inscrit dans une ellipse, tu soulèves plein de problèmes intéressants d'algèbre linéaire, facilement résolubles dès que l'élève disposera des outils adéquats d'algèbre linéaire. S'il veut par ailleurs explorer d'autres outils que les seuls outils issus de l'algèbre linéaire, pas de problème. Tout cela est lié, rien n'oppose une démarche à l'autre. Il va juste de soi que cela nécessite un contact expérimental prolongé avec les notions de base qui seront plus tard axiomatisées. Il convient certes d'apprendre à l'enfant l'art des constructions géométriques, mais fuir comme la peste ce qui est sans doute le plus gigantesque "canular" de l'enseignement classique, la limitation des instruments de dessin à la règle et au compas(utiliser affinographe, pantographe, etc.)

Dom

Non, non, mais autant je trouvais et trouve encore cela très intéressant (les « $(x;y)\mapsto f(x;y)$ ») que là, en cherchant des arguments, c’est juste que le matériel fait défaut. 

Utiliser un compas, c’est donc valable pour une partie des élèves en France mais pas tous, d’une part  parce qu’ils ne l’ont pas, d’autre part parce que c’est catalogué dans « l’inutile »…

Il fallait commencer par là, ça n’aurait pas pris tant de pages. 

Vassillia

Tant mieux, moi je peux très bien me vexer à cause de propos sur un forum et tu le sais bien
Encore une fois, que "remplacer" ne t'aille pas, je le comprends mais je trouve que chercher tous les prétextes pour dire que ceux qui "remplacent" le font pour d'autres raisons que celles avancées (prof pas à l'aise, manque de matériel), c'est à minima un procès d'intention.
Tu ne veux pas entendre qu'on peut faire le choix de "remplacer" parce qu'on pense que c'est mieux et parce qu'on n'a pas le temps de tout faire, cela ne nous donne pas forcément raison mais cela ne nous donne pas forcément tort non plus (et je ne suis pas hostile à remplacer Molière mais sûrement pas par Booba). Bref, j’arrête, c'est sans fin cette discussion.

Dom

Pas de problème. 

Je crois aussi que de mon côté j’ai épuisé mon discours. 

stfj

Pour faire plaisir à @Alain24, un embryon de géométrie hyperbolique dans le disque de rayon $10$; et pour rappel,derrière la "science " " Géométrie non-euclidienne", sous cette défroque d'un autre âge, se cache toujours une seule et même discipline, l'Algèbre linéaire des mathématiciennes et mathématiciens modernes.

Dom

Ou peut-être pour TE faire plaisir 😏😏😏 ?

Je n’interviens pas que pour vanner. Je pense que GeoGebra est sous-utilisé tout comme ces exercices dans le supérieur. Je parle des étudiants. On peut voir l’effet de n’importe quelle application affine (matrice 2x2) sur des formes et par exemple sur le cercle. 

On peut même, pour voir les rotation, colorer quelques parts dans le disque trigonométrique et voir où ces parts arrivent. 

Je prends d’ailleurs l’objet de ce fil mais dans le supérieur : pourquoi en L1, toutes les représentations disparaissent pour ne faire que des calculs vectoriels et matriciels ? J’imagine que j’exagère et que certains profs illustrent peut-être le cours (espace propre, valeur propre) avec GeoGebra mais je n’en ai jamais entendu parler.  

Les exercices ludiques (ce n’est pas un gros mots ici) proposés dans ce fil sont pertinents dès le collège et certainement formateurs dans le supérieur. 

J’ose ajouter « À bon entendeur ! ». 

stfj

Pour rappel,derrière les "sciences" "Géométrie pure", "Géométrie analytique", "Trigonométrie", "Géométrie projective", "Géométrie conforme","Théorie des nombres complexes" ," Géométrie non-euclidienne", sous ces défroques d'un autre âge, se cache toujours une seule et même discipline, l'Algèbre linéaire des mathématiciennes et mathématiciens modernes.

stfj

Plaçons-nous dans un espace vectoriel euclidien $(E,\left\langle .,. \right\rangle) [\mathbb R^2,\mathbb R^7,...]$. Considérons une hypersphère de centre $0$ et de rayon $R$. Soit $a$ et $b$ deux points de cette hypersphère. Alors $\left\langle a-b,a+b \right\rangle=\|a\|^2-\|b\|^2=0$. Autrement dit $a-b$ et $a+b$ sont orthogonaux. Ma question est alors : vue la simplicité de cette démonstration qu'on adaptera aux besoins du lycée, quel intérêt subsiste-t-il à chercher à démontrer ce résultat dans le cadre de la géométrie plane par exemple, au lieu de se contenter d'en chercher des applications intéressantes pour les élèves de collège ?

stfj

Soit $a$ et $b$ deux points d'un espace vectoriel euclidien Alors $a-b.a+b=0\iff a^2=b^2$, autrement dit il y a équivallence entre le fait que $a$ et $b$ soit sur une hypersphère de centre $0$ et le fait que $a-b$ et $a+b$ soient orthogonaux. Vue la simplicité de cette démonstration qu'on adaptera au lycée, quel intérêt d'en proposer en géométrie plane par exemple pour des collégiens au lieu plutôt de chercher des applications intéressantes de la-dite propriété?(remarque : dans l'article wikipedia, la seule démonstration proposée est celle que je viens de donner)

Dom

Certes on peut démontrer en deux coups de cuillère à pot le théorème de Pythagore avec un produit scalaire. Qu’est-ce que c’est que tous ces ringards qui traces des carrés extérieurs aux côtés dudit triangle rectangle ?
Idem pour Thalès, ce n’est même pas un théorème, mais juste un corollaire lié à la notion de base…

gerard0

C'est bizarre, cette fixation sur l'algèbre linéaire. J'étais déjà un peu surpris de cette utilisation du terme pour parler de calculs élémentaires, mais autant les géométries peuvent se ramener à des groupes de transformation, autant je commence à penser à une fixation maladive, ou à une méconnaissance de ce que sont les géométries. Sans parler de l'aspect historique.

Stfj, reviens sur Terre !

JLapin

@stfj
Ne t'inquiète pas : la géométrie plane du collège va continuer lentement son déclin au fur et à mesure des années qui viennent. Probablement qu'avant ta retraite, tu n'auras plus à enseigner et démontrer que les médiatrices ou les hauteurs sont concourantes.

stfj

Le théorème de Pythagore est évidemment expliqué autrement que par $(a+b)^2=a^2+b^2\iff a.b=0$ en classe de 4è. Quant au "théorème de Thalès", ce n'est qu'une version atrophiée malcommode pour les collégiens du fait que les projections sont des applications affines. Il n'en reste pas moins que la véritable explication du fait que $a$ et $b$ sont sur une hypersphère ssi $a-b.a+b=0$ est celle que j'ai donnée.

Dom

Bon travail personnel, stfj. 

Vassillia

Je vais encore me fâcher avec @Dom mais je trouve que c'est ringard le moulin à vent à la Euclide, je préfère une version hyper récente (du 12ème siècle quand même )

L'aire du grand carré à partir d'un de ses cotés : $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

L'aire du grand carré en sommant le petit carré et les triangles : $c^2 + 4\times ab/2 = c^2 + 2ab$

En égalisant les résultats précédents on trouve $a^2+b^2=c^2$

Dom

Je reviens ici, juste pour ton message, Vassillia. 

Tu as parfaitement raison. C’est d’ailleurs une démonstration bien plus pertinente pour le secondaire. Mais j’ai encore mieux, la suivante avec des manipulations :  



C’est celle que je trouve la plus réussie (on évite notamment le $(a+b)^2$ plutôt vu en 3e qu’en début de 4e). 

Une remarque : attention !!! Ne pas utiliser un quadrillage car ce serait fausser complètement la démonstration. 

Faire du découpage, puis du collage pour assembler le puzzle. Les élèves sont tellement habiles qu’ils auront l’impression que certains angles ne sont pas droits… tant mieux… c’est là que l’on raisonne. 

Je répète : surtout pas de quadrillage (haha). 

Vassillia

Je n'ai rien contre l'histoire du découpage et du collage même si c'est dommage de ne pas en profiter sournoisement pour leur faire faire un peu de calcul littéral par contre je ne suis pas du tout d'accord sur le "c'est pas grave s'ils ont l'impression que certains angles ne sont pas droits".
Pour moi, l’expérimentation, si elle a lieu, a pour objectif de donner l'idée de ce qu'on veut démontrer sinon c'est pas trop la peine donc d'après ce que tu me dis, si je devais me lancer dans la manip, je leur fournirais le dessin donc en effet pas besoin de quadrillage puisque c'est moi qui gère tout.
Si tu leur demandes de tracer cette figure sur une feuille blanche, je sens venir la catastrophe mais je peux me tromper.

stfj

Quand je fais le chapitre consacré au cercle en 6è, je trouve qu'il est pertinent de parler de parler d'extérieur du disque. Quand on fait construire le symétrique d'un point par rapport à une droite, on demande de reporter la distance du point à la droite. Les notions topologiques de frontière, intérieur, extérieur, distance d'un point à une partie apparaissent de façon naturelle dans le cadre de l'enseignement aux "petits" du collège. Idem pour la notion de demi-plan ouvert ou fermé délimité par une droite par exemple quand on étudie la médiatrice d'un segment $[AB]$ et qu'on s'intéresse à l'ensemble des points plus proches de $A$ que de $B$ (borné, non borné). Plus généralement, difficile de ne pas demander aux "petits" de temps en temps de colorier l'intérieur d'une figure en bleu, en rouge, ou en vert avec leurs chers crayons de couleur. Bref, la topologie générale de base est finalement tout près et il est utile pour l'enseignant d'être conscient des concepts mathématiques associés pour ne pas hésiter à les faire manipuler le plus possible aux élèves dès que l'occasion se présente. Or, il y a un lien direct des espaces vectoriels ou affines vers la topologie(il suffit de rajouter une structure). Et cela ne pose donc aucun problème. J'ignore si ce lien existe avec la géométrie d'Euclide/Hilbert.
Par contre, que derrière deux calculs tout bêtes faisables dès 8 ans  $$5-3=2\text{ et }5+3=8$$ se cache presque rieur un homéomorphisme me laisse confiant en l'avenir mathématique de tous mes élèves : keep it simple, student.

stfj

Quelqu'un a parlé de "fixation maladive". C'est possible : tu définis deux droites parallèles du plan à des sixièmes comme deux droites n'ayant aucun point en commun ou confondues et tu penses droites ayant même direction pour deux raisons au moins : l'une que tu précises aux élèves est que ce n'est pas une définition valide dans l'espace, l'autre que tu ne précises pas aux élèves est que dans le complété projectif du plan, deux droites projectives obtenues par complétion de deux droites affines parallèles distinctes ont un point d'intersection unique : leur direction commune. Tu dis carré et tu penses $$\{\mp1,...\mp1\}$$dans $\mathbb R^n$ euclidien. Et tout cela tu le sais (voir par exemple l'ex VI.52 de Géométrie, EDP)grâce à l'Algèbre linéaire des mathématiciennes et mathématiciens modernes.

Dom

Vassillia,
tu n’as pas compris, si tu donnes la figure, tout sera bien calé avec des angles droits. Mais dans cette démonstration, certains angles sont droits par hypothèse et d’autres demandent à ce que l’on démontre qu’ils sont droits. Si tu fournis la figure, l’élève dit « ça se voit » pour chacun d’eux et ne sait pas où est la démonstration. Par exemple, le quadrilatère vert de côté $c$ est un losange, certes, mais croire que c’est évident que ce soit un carré c’est n’avoir pas bien compris l’enjeu de cette démonstration. Idem dans la figure de droite…

NB : on ne trace rien, on fournit les quatre triangles rectangles et on joue au puzzle. 

stfj

Pour tenter de rejoindre Michel Rodriguez, il me paraît peu intéressant de démontrer que la droite joignant le milieu de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté. Dès le lycée, ce sera une trivialité pour les élèves énoncée peu ou prou sous la forme : $$0,a,b \in E\implies \frac12 b-\frac12 a \text{ et } b-a\text{ sont deux vecteurs liés.}$$ Par contre, comme le propose Michel en 4.1, présentons aux mêmes élèves et sans aucune préparation la figure 2 : Un quadrilatère concave et le quadrilatère de ses milieux. Là, une véritable activité mathématique fructueuse est initiée. J'entends déjà les cris d'orfraie des puristes, des rigoristes, des formalistes … Je ne les moque pas, j'en ai fait partie !...

Vassillia

Mais je veux qu'ils se disent "ça se voit" si je me motive à proposer le découpage, collage, ce n'est que pour la visualisation pour les quelques élèves qui seraient vraiment fâchés avec le calcul littéral, pas pour qu'ils jouent à des puzzles même si chacun fait ce qu'il veut. Et figure symétrique donc diagonales de même longueur donc le losange est un carré, pourquoi leur enseigner la symétrie centrale sinon ? Bon en pratique, je crois que je leur montrerai surtout la rotation de 90° pour qu'ils comprennent ce qu'il se passe et pourquoi les diagonales sont égales.

stfj

Le problème de "la règle de la règle trop courte" proposé en "module" à ses élèves par Michel Rodriguez est vraiment intéressant, n'est-ce pas? J'ai toujours aimé le dessin, la peinture,... et en particulier le dessin géométrique avec des feuilles blanches et les instruments. La résolution du problème de la règle trop courte est bluffante quand tu la FAIS effectivement. Personnellement, j'ai dû scotcher plein de feuilles car mon point de fuite allait très très loin. Je ne pense pas qu'il soit pertinent d'envisager d'autres moyens (informatique,...) que des feuilles et une règle trop courte pour être bluffé par la solution. Qu'en pensez-vous, @Dom, @Vassillia ?

Dom

Tout dépend comment tu construis ta figure et comment tu justifies qu’il y a un centre de symétrie. 

J’entends déjà le « c’est évident »… 

« je veux qu’ils se disent ”ça se voit” » 
Il n’y a pas pire !!! Surtout si ce qu’ils voient est vrai. Ça conforte « ça se voit => c’est vrai ». 

Houlala…

Je préfère les deux figures car on matérialise d’une part le $c^2$ et d’autre part le $a^2$ et le $b^2$. 

J’ai aussi justifié que le $(a+b)^2$ est difficile en début de 4e mais tu peux aussi annoncer que tu termines l’année par cette démonstration de Pythagore. Je crois comprendre que ma proposition heurte. Fuir la géométrie pour le littéral. Il est là le clivage. Ça me rappelle un prof qui faisait de la géométrie sans aucune figure. Cela m’étonne encore. 

Proposer les figures toutes faites empêche totalement de réfléchir. Tout est évident et se voit. Pire, « pourquoi le prof justifie ce passage puisque c’est évident ? ». Un tel procédé passe à côté de ce qu’est une preuve. Je comprends d’ailleurs des profs qui finissent par passer la démonstration et envoient le théorème, car cela revient au même…

C’est justement quand on cherche à bouger les triangles pour qu’ils forment la figure voulue que l’on est en droit de s’interroger s’il y a bien des angles droits ici et là. Et c’est justement intéressant d’entendre « moi, sur ma feuille c’est pas vraiment un angle droit » car le prof prend en main et dit qu’on va le démontrer et que les imperfections sont liées au positionnement et découpage, etc. 

Dom

Autre exemple où donner les deux figures n’est pas pertinent. Pire, les faire dessiner sur quadrillage (avec en prime, faire avaler sans le savoir des choses fausses). 

Certes c’est amusant dans un Télé7jeux. 

Mais il m’apparaît plus pertinent de faire construire la première et de voir comment s’assemble le tout, façon puzzle 🧩 (haha). Le quadrillage met des œillères aux élèves dans certaines situations. Ha oui mais ils n’ont pas de compas, ah oui mais ils n’ont pas de paires de ciseaux, ah oui…
Bref… fuir la géométrie pour des calculs… je maintiens que c’est peu pertinent et qu’il s’agit de choix davantage confortable que pédagogique. 

NB : je dis bien encore une fois qu’il faut faire de tout, et que l’on ne me dise pas que je prône le « tout géométrique ». 

Vassillia

Tu rigoles, le quadrillage est LA solution pour comprendre, on voit que la surface n'est pas la même grâce au quadrillage donc on se met en mode  "cherchez l'erreur" et il est évident que la pente de ton triangle change, 1 carreau à droite puis 3 carreaux en haut et ensuite avec la même pente, on ne tombe pas sur une intersection puisque c'est 2 carreaux à droite et 5 carreaux en haut. Honnêtement je tente ce raisonnement en primaire sans problème.

Tu maintiens la raison du choix de personne que tu ne connais pas alors qu'il me semble qu'ils sont les mieux placés pour connaître les raisons de leur choix, comment tu peux être crédible ? Que ce choix soit pertinent ou pas, c'est un autre débat et oui je veux qu'une figure géométrique soit "résolue" par le calcul car je veux qu'ils se mettent à réfléchir ainsi (du moins si j'y arrive) ils gagneront en efficacité de mon point de vue.