Enseigner la géométrie en 2023 : quelle place pour l'algèbre linéaire ?

Julia Paule

... c'est plus compliqué que ça ...

dp

Je n’ai pas écrit que tu avais considéré d’arrêter d’enseigner le calcul des aires des polygones. Simplement tu fais ce que je faisais il y a pas si longtemps encore : tu considères comme acquis et obligatoirement supérieur et plus efficace ce qui fonctionne intuitivement pour toi, en oubliant que tout le monde ne considère pas ces choses-là comme acquises. Sans oublier les personnes qui bataillent avec. Pourtant que je sache, le monde fonctionnait tout aussi bien avant l’apparition des vecteurs au collège. Il a fonctionné tout aussi bien une fois qu’ils ont été retirés. D’ailleurs, étant donné qu’on aime bien les arguments d’autorités ici, les membres de Bourbaki n’avaient pas eu de Mathématique Moderne au cours de leur scolarité, et ont aussi dû faire avec la vieille géométrie. Pareil pour Alain Aspect et bien d’autres.

Bien sûr, je ne dis pas qu’il faille retirer toute notion de spatialisation et de géométrie analytique du programme de mathématique. Dans les années 60 (que je n’ai pas vécu donc je ne puis être targué de nostalgique ) les vecteurs étaient doucement appréhendés en 4ᵉ puis en 3ᵉ, sûrement de sorte que les lycéens n’étaient pas largués et les autres devaient de toute façon en avoir que faire.

dp

Je me permets de citer quelques auteurs de livres des années 70-80

M. Monge & S. Hautcœur-Tardieu [mathématiques seconde C et T | 1974]:
Dans les chapitres concernant les espaces affines, nous avons insisté sur un certain nombre de résultats dits « traditionnels », dont on s’est aperçu à l’usage, qu’ils faisaient plus tard cruellement défaut.

C. Gautier & C. Thiercé [mathématique premières S et E, géométrie | 1982]:
Ces dernières années, le caractère utilitaire — le terme n’est pas péjoratif — de la géométrie a été quelque peu oublié et de nombreux blocages, constatés en Analyse comme en Sciences Physiques, proviennent, à notre avis, de la méconnaissance de quelques propriétés simples du triangle, du cercle… [et du manque de pratique dans l’utilisation de l’outil vectoriel, du produit scalaire…]

Attention, ici je ne cherche pas à déformer leurs propos et c’est la raison pour laquelle j’ai laissé la citation complète. Ce qui est entre accolades concerne bien les lycéens tandis que ce qui précède concerne bien les collégiens, sans outil vectoriel.

Marc Gourion & Jacques Chevallet & Christian Lixi [mathématiques terminales C et E, géométrie | 1983]:
Tout en développant l’algèbre linéaire et la géométrie analytique, ce livre remet à l’honneur la géométrie pure. En effet, celle-ci fait appel à l’intuition, à la vision dans l’espace. L’intérêt de l’élève est souvent mis en éveil par une construction ou un problème de géométrie. On évitera la monotonie du calcul analytique et ses automatismes, certes efficaces, mais conduisant à la « robotisation » de l’élève.

Vassillia

Je reconnais volontiers que je ne sais pas comment enseigner la géométrie au collège et au lycée, je ne sais pas quand introduire telle ou telle notion ni comment et c'est bien dommage car il se trouve que cela m'intéresse. Par contre, ce dont je suis sûre, c'est qu'il faut l'orienter dès que possible vers quelque chose d'utile donc analytique sinon elle va disparaitre complétement au profit d'autre chose. Cela ne veut pas dire non plus, ne faire que cela si on juge important de développer telle ou telle vision mais c'est l'utilisation qui peut en être faite qui rend légitime son enseignement.

Je pense, mais je peux me tromper, que sa place dans l'enseignement a déjà pas mal diminué depuis l'époque que tu évoques.

dp

Selon moi, et je peux aussi me tromper, il est plus utile, en particulier en France où, à l’inverse de beaucoup d’autres pays, on essaie de se focaliser à créer des citoyens capables de sortir des sentiers battus afin de s’adapter à une situation inconnue (prenons un cas extrême : comparer un Français et un Japonais), de faire de la bonne vieille géométrie demandant de l’initiative et de « l’intuition », que d’utiliser la géométrie analytique pré-mâchant tout le travail de l’élève.

Après, bien sûr, je suis comme vous et je considère qu’il y a tout à y gagner à utiliser la géométrie analytique au lycée (d’autant que toutes les personnes qui pourraient en avoir besoin vont au lycée de nos jours) de part toutes ses qualités : elle est efficace, synthétique et permet de dépasser sans efforts certaines difficultés rencontrées en géométrie pure. Bref, on a tout à y gagner de l’utiliser pour s’affranchir, après quatre ans de dur labeur, de cette bonne vieille géométrie plus très utile pour répondre aux enjeux du second cycle secondaire.

Vassillia

Mouais, à trop vouloir former des citoyens qui sortent des sentiers battus, on risque surtout de créer beaucoup de citoyens qui ne font rien du tout et qui ne sont même pas capables de suivre un sentier. On pourrait peut-être se demander si cela vaut le coup de faire un dur labeur pour apprendre plus tard qu'on pouvait faire mieux et j'en serais presque à me contenter de faire de la géométrie plus ou moins contemplative et expérimentale au collège pour passer aux choses sérieuses au lycée sans passer par cette bonne vieille géométrie qui effectivement ne répond pas aux enjeux actuels.

dp

Pourtant c’est ce qu’on fait tous, tout le temps, dans tous les domaines : tu apprends à utiliser un ordinateur ? Tu vas passer par une phase où tu vas rien faire « comme il faut » avant de devenir une experte capable de bien faire. Tu fais de la musculation ? Tu vas passer par une phase tendue où tu risques à chaque mouvement de te blesser avant de, plus tard, les maitriser et bien faire. Tu dessines ? Tu vas passer par la phase où tu dessines des bonhommes bâtons avant de réussir à faire Michel-Ange. Bref tu comprends l’idée. N’oublions pas qu’on parle d’enfants de 10 à 15 ans, pas d’experts de domaines variés avec vingt ans d’expérience.

Vassillia

Oui je comprends l'idée mais dès le début, j'apprends avec la méthode la plus simple, je ne fais pas exprès d'utiliser une méthode ancienne et pas efficace. Dans le genre contemplatif et expérimental, je pensais par exemple à http://euclidea.xyz/

dp

La méthode experte fonctionne bien pour ceux qui ont déjà du bagage, typiquement ceux qui ont commencé avec une « mauvaise » méthode (selon quels critères ?). De plus, en quoi la géométrie pure est-elle "pas efficace" ? Et si tu te retournais et tu essayais de voir une autre partie de l’enseignement : ie. pas juste la capacité à résoudre rapidement un problème mais peut-être aussi la capacité à trouver une solution sans avoir les outils nécessaires ou que sais-je : faire de la "recherche", car dans la vie on a pas toujours à faire à des situations typiques qu’on nous enseigne à l’école.

Vassillia

Désolée mais se priver d'outil existant pour réinventer l'eau chaude, c'est pas pour moi et je dirais même que cela me braque directement. On parle de former des collégiens, pas des chercheurs en thèse. Le but est effectivement de résoudre des problèmes au mieux, si on y arrive, ce sera déjà pas mal et pour cela il faut les laisser utiliser ce qu'ils veulent donc leur proposer ce qui existe.

dp

Selon cette vision on en revient à enseigner la Mathématique Moderne. Et tant qu’à faire, pourquoi pas commencer par enseigner directement les mathématiques par la théorie des catégories ? À quoi ça sert de réinventer l’eau chaude ? Autant commencer par aussi enseigner directement les dernières théories en date. On se fait bien chier au collège actuellement.

Vassillia

Tu ne comprends pas ce que je veux dire, il faut bien sûr commencer par les outils nécessaires mais je ne pense pas que la géométrie à l'ancienne en fasse forcément partie. On peut très bien passer de "je vois bien que c'est à peu près parallelle" à "le coefficient directeur montre que c'est parallèle" sans passer par des propriétés démonstratives sur 2 droites perpendiculaires à une même troisième. Cette étape, je ne suis pas convaincue de son intérêt donc je ne l'utilise pas ou en tout cas je n'insiste pas dessus à priori. Dans d'autre cas, il y aura besoin d'étapes intermédiaires qui reservent par la suite et bien il faudra les enseigner et s'assurer que c'est maîtrisé avant de passer à la suite.

Foys

Ce qu'on a appelé "maths modernes" n'étaient pas une remise en cause de la progressivité des apprentissages.

dp

@Foys Où ai-je prétendu le contraire ?

@Vassillia Je comprends très bien, à nouveau, j’ai pensé la même chose que toi. Simplement force est de constater que, si la géométrie analytique résout les problèmes du second cycle secondaire et autres "sacheurs" que nous sommes; elle ne résout en rien les problèmes du reste de la population. Il serait quand même bien de se mettre à leur place. Après tout, c'est aussi et majoritairement à eux que s’adresse l’enseignement. Ton boucher il s’en fout d’utiliser des vecteurs colinéaires. Il ne sait même pas ce que c'est. Par contre, si demain il souhaite refaire sa toiture, il sera bien content d’utiliser très simplement, longueurs, angles, et autres théorèmes classiques que sont les théorèmes de Thalès et Pythagore, sans avoir à se faire parasiter ses pensées par nos satanés coordonnées et vecteurs.

gai requin

Les maths modernes, c'est l'introduction de l'algèbre à l'école en vue d'établir des règles du jeu claires, nettes et précises pour notre discipline.
Aujourd'hui, tout cela est tombé aux oubliettes de notre enseignement, de même que l'étude de la syntaxe des langues (en particulier la nôtre) qui ont fini par ne plus être enseignées.

stfj

Comment présenter une homothétie de rapport $2$ simplement à un élève de 6è, ou à un élève de 5è, 4è, 3è à qui on souhaite présenter rapidement la notion ? Je propose les explications suivantes : "tu prends un point $E=(5,3)$ et tu lui associes le point $E'=(\color{red}2\color{black}\times 5, \color{red}2\color{black}\times 3)$. Si tu lui associes le point $E'':=(\color{red}2\color{black}\times 5, 3)$, tu peux aisément aussi observer ce qui se passe" (je ne pense pas qu'il soit très utile de lui parler de dilatation; par contre, il sera très intéressant de voir l'effet d'une dilation sur le cercle de centre $0$ et de rayon $5$ passant par $(4,3), (3,4), (5,0)...$ )

Mathurin

C'est un débat très intéressant.

Je serais d'avis d'enseigner la géométrie synthétique au collège, car elle donne l'occasion de faire des démonstrations, de raisonner. De plus elle est directement utilisable par beaucoup de personnes sans bagage mathématique supplémentaire.

Au lycée, l'algèbre linaire présentée à la fois sous l'angle de la géométrie des coordonnées et sous l'angle des systèmes d'équations, voire des matrices, me parait irremplaçable.

Au total c'est plutôt un avantage d'enseigner la même chose de deux façons différentes successivement, cela nourrit la compréhension globale et permet le "transfert d'intuitions".

stfj

Tracé d'ellipse faisable (et fait ) en 6è :

Dom

Je reviens par rapport à ce dernier message sur les homothéties. J’avais bien fait de partir surtout avec la qualité imparable de l’argumentaire « je comprends l'attachement nostalgique ». Un autre membre du forum utilise cela souvent. Un jour il ira même me dire « 1+1=2, c’est réac ». Imparable. Bref.   

Croire que c’est plus simple de jouer avec les coordonnées, là encore, je trouve cela intrigant. 

Il suffit de former le tableau 
OA OB OC OD
2     3    4     4
OA’ OB’ OC’ OD’
4     6     8      8

Puis de prolonger [OA) et [OB) etc.

Ça se fait sans aucun problème. Aucun. 

Au passage, si le coefficient est 1,36 ça ne pose aucun problème non plus alors qu’avec un quadrillage… j’attends de voir la pagaille… 
Travailler sur quadrillage, c’est ça la modernité ?
Il y en a nulle part… comment peut-on se planter tant que ça ?

Vassillia

Tu plaisantes @Dom, ton écran est fait à base de pixels, c'est un quadrillage et c'est le seul usage de la géométrie de nos jours, j'en suis désolée mais c'est un fait qu'on peut regretter mais pas nier. Et comme tu ne m'as donné aucun argument pour justifier l'utilisation de papier blanc, j'en déduis que c'est de la nostalgie ou de l'habitude si tu préfères.
Après je suis plutôt d'accord avec @dp pour Thales et Pythagore au collège en ajoutant placer des points avec des coordonnées et s'en servir pour un peu ce qu'on veut du genre trouver intersection de droites ou autres. Ca me parait un bon compromis mais ne nous mentons pas, les démonstrations, c'est de la poudre aux yeux dans mes souvenirs de collégienne. On reproduit seulement un schéma vu maintes fois, il n'y a pas vraiment de réflexion ni de suspens sur la propriété à utiliser.

stfj

En modifiant légèrement les programmes, comment on pourrait présenter la notion de droite dès le collège(d'après un travail de 2h sur l'utilisation du quadrillage pour tracer des droites en s'aidant du quadrillage):
$\mathbb R^2$ est un espace vectoriel réel. On peut donc y définir non seulement la notion de droite vectorielle comme $f=\mathbb R u$ avec $u=(3,2)$ mais aussi celle de droite affine comme $g=G+f$, avec $G=(3,7)$

Par exemple la tangente à l'ellipse dessinée plus haut en $D$ est la droite $D+\mathbb R (3,-2)$.

dp

@Vassillia Je te conseille de jeter un coup d’œil aux Lebossé-Hémery et Monge-Guinchan de collège (tu les trouveras ici) des années 50-60. Tu verras qu’à cette époque, c’était tout sauf de la poudre aux yeux. J’en ai d’ailleurs mis un aperçu plus tôt dans cette conversation.

D’ailleurs quand tu dis « On reproduit seulement un schéma vu maintes foi, il n'y a pas vraiment de réflexion ni de suspens sur la propriété à utiliser », c’est d’autant plus vrai avec la géométrie analytique dont les exercices et solutions sont largement plus susceptibles d’êtres automatisés.

Dom

Les démonstrations, c’est fini, oui, majoritairement aux oubliettes… sauf ici et là… mais il faut bien se l’avouer. 

L’argument « des écrans » m’amuse. Puisque on est sur papier, il n’a aucun sens de mon point de vue. Et ce n’est pas être nostalgique que de dire cela. 

Amusons-nous avec des rotations sur quadrillage, va-t-on devoir brider les mesures d’angles à des multiples de 45° ou aura-t-on le droit à d’autres mesures « parce que c’est l’avenir » ?
C’est encore une fois une histoire de point de vue. Mais pourquoi le défendre si mal ? Pourquoi balancer des arguments qui tombent à l’eau dans un premier temps puis qui deviennent presque politiques (« nostalgie/progrès ») ?

Vassillia

Notre désaccord de fond @Dom, c'est que contrairement à toi, l'apprentissage a pour objectif de me donner une compétence éventuellement utilisable donc dessiner sur papier blanc bof car ce n'est pas utile en soi et pas un prérequis pour la suite de mon apprentissage par contre demander à un ordinateur de m'afficher telle ou telle chose je suis d'accord pour faire l'effort d'apprendre. Mais ne revenons pas dessus, c'est effectivement un désaccord politique.

Bien sûr @dp que c'est d'autant plus vrai pour la géométrie analytique sauf que c'est utile donc ça vaut la peine d'automatiser justement pour donner des outils pour la suite, c'est une sorte de méthode générale. C'est bien pour ça aussi que je suis pour garder Pythagore et Thales "en automatique". Je ne cherche pas à faire faire des démonstrations un peu subtiles au collège, je sais que c'est fini et ce n'est pas forcément si grave car comme tu le dis, on forme monsieur tout le monde.

stfj

Tangente ("touchante" ?) à l'ellipse $\color{red}\mathcal {E}$ obtenue par dilatation $\mathbb R^2\to \mathbb R^2,(x,y)\mapsto (2x,y)$ du cercle $\mathcal{C}$ de centre $0$ et de rayon $5$ au point $B=(8,3)$ : c'est la droite $B+\mathbb R (3,-2)$

Dom

« l'apprentissage a pour objectif de me donner une compétence éventuellement utilisable »

Mais qui décide de ce qu’est « utilisable » ?
 « donc dessiner sur papier blanc bof car ce n'est pas utile en soi et pas un prérequis pour la suite de mon apprentissage »
Qui décide de ce qui est « utile en soi » ?
Je trouve cela assez prétentieux. 

Mais inutile de continuer sur les tenants et les aboutissants de l’enseignement. 

stfj,
J’attends une activité pour les rotations désormais ? Va-t-on ne regarder que les angles droits ?

stfj

@Dom : Pour les rotations, tu disposes pour rester dans $\mathbb Z^2$ des triplets pythagoriciens. Par exemple avec le triplet $(5,12,13)$ la similitude $(x,y)\to(12x-5y,5x+12y)$. Un peu difficile à mettre en place, à adapter au niveau des élèves mais l'on y parvient même en 5è avec $(3x-4y,4x+3y)$

Par exemple $(5,1)\to (\color{red}3\times\color{black}5\color{red}-4\times\color{black}1,...$

stfj

@Dom : Pour les rotations, tu disposes pour rester dans $\mathbb Z^2$ des triplets pythagoriciens. Par exemple avec le triplet $(5,12,13)$ la similitude $(x,y)\to(12x-5y,5x+12y$. Un peu difficile à mettre en place, à adapter au niveau des élèves mais l'on y parvient même en 5è avec $(3x-4y,4x+3y)$

Vassillia

@Dom Pour moi le marché du travail et l'utilisation que l'on peut en faire à titre perso mais j'entends ton argument, d'autres auront peut-être d'autres critères.

Dom

Jetons le rapporteur à la poubelle, ce truc si « troisième république ». 

Un angle de 27°, quelle idée de même tenter de l’évoquer ? Une rotation n’étant qu’une isomérie directe, utilisons le groupe spécial orthogonal en se forçant à avoir des coefficients entiers. Interdisons tout ce qui sort des triplets Pythagoriciens. 

Je force le trait vous l’aurez compris… même si je me dis… pas tant que ça finalement. 

Donc, des rotations sur quadrillage : puisque « c’est utile ». 

jelobreuil

@Vassillia Ta dernière phrase me fait réagir : "faire faire des démonstrations au collège, c'est fini", dis-tu.

Cela veut-il dire que tu te satisfais de ce que l'on ait renoncé à apprendre aux enfants à raisonner ? Raisonner juste, c'est quand même utile, dans la vie, non ? Et cela permet d'éviter de se fier aux apparences, assez souvent trompeuses (cf l'épidémie de platisme ...).

Dom

Je l’interprète plutôt comme « un fait » et non comme un « tant mieux ». Mais elle va répondre sans problème 😀

Vassillia

Que je m'en satisfasse non mais autant faire du "damage control" et leur faire faire quelque chose qu'ils ont une chance de réussir. Je n'ai pas vraiment fait de démonstrations demandant de la réflexion avant la prépa et ce n'est pas si grave. N'ayant pas l'impression que les matheux font moins d'erreurs de raisonnement que les autres dans la vie de tous les jours ou sont moins soumis aux biais cognitifs, je me dis que ce n'est pas un élément déterminant. Bien sûr qu'il faut corriger le tir autant que possible mais il faut aussi être réaliste 

el_douwen

stfj a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2403417/#Comment_2403417.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Ce n'est pas facile pour un cancre je trouve de définir $b-a$... si $b$ est censé être un point.

Les fondements d'Euclide sont des axiomes intuitifs compréhensibles par tous

les fondements de l'algèbre linéaire sont profonds… profonds… complétude de R… axiomatique de N...

L'assimilation des points aux coordonnées, elle-même, ne me paraît pas du tout ni intuitive ni pédagogique ; encore faut-il avoir des représentations mentales d'un point…

Je suis vraiment d'un avis contraire à vous, même si je pense que par exemple la notation de Grasman pourrait être introduite plus tôt ; elle a des liens, selon moi, avec l'habillage du plan par les nombres complexes ; avec les vecteurs via les barycentres ; avec la structure d'espace vectoriel ; à mon avis il faudrait réfléchir dans ce sens…

Vincent

[Euclide (-323/-285) prend toujours une majuscule. AD]

Sato

C’est une erreur de penser que les objets dessinés à l’écran sont conçus par le quadrillage. Ils sont placés sur un quadrillage pour l’affichage. 

Enfin, de toute façon, que ne lit-on ici…
Géométrie « à l’ancienne », ben voyons. On peut aussi ajouter « de papa », « vieillot », « suranné », « poussiéreux » tant qu’on y est, puisqu’on est à ce niveau de débat. 

On peut aussi penser que savoir en gros comment ça marche un triangle, un disque, soyons fous un parallélogramme, ça fait partie du développement normal ou souhaitable d’une tête bien faite. 

Dom

En effet, rien que de prétendre qu’une preuve algébrique est « compréhensible », je pense que c’est une erreur. Et même d’annoncer qu’elle serait « plus compréhensible qu’une autre ». 

Dans ce texte l’équivalence entre $b-a=c-d$ et $c+a=b+d$ qui est pourtant issue « d’une simple définition » n’est pas du tout maîtrisée. 

L’expression « il n’y a pas photo » est amusante dans ce contexte car d’une part, oui, on ne voit rien (rien n’est géométrique) et d’autre part, ça fait penser à un tour de magie (hop, hop, personne n’y voit rien mais j’obtiens le résultat voulu). 

J’ai le sentiment en lisant cet extrait que l’on croit que « la simplicité » est corrélée à la taille de la preuve. Je m’inscris en faux, là encore (ce qui ne signifie pas que j’aime bien les romans en plusieurs tomes).

Vassillia

C'est amusant de se plaindre du niveau d'un débat en utilisant l'argument "têtes bien faites" et selon quels critères s'il vous plait ? En quoi savoir comment fonctionne un triangle (quoi que ça puisse vouloir dire) est nécessaire pour avoir une tête bien faite ? Je ne connais pas (ou plus) les axiomes d'Euclide et je n'ai pas prévu m'y intéresser, ai-je une tête mal faite ?

Bien sûr qu'on peut le penser mais on peut aussi penser autrement. En fait la question à se poser, pour moi, est "quels sont les exercices que l'on veut que sache faire un enfant de telle classe et pourquoi ?" J'entends par là "que doit-il en retenir pour les années à venir et qu'est-ce que ça va lui apporter ?" Ensuite il deviendra peut-être plus facile de savoir comment s'y prendre pour présenter les notions. Je ne prétends pas avoir la réponse mais vu la quasi disparition de la géométrie même dans l'enseignement supérieur, il y a peut-être mieux à faire. Peut-être que l'approche de @stfj va trop loin s'il perd tout le monde en classe mais elle me semble quand même intéressante et aller dans le bon sens, à doser donc. En tout cas, je suis entièrement d'accord avec sa définition de milieu qui me parait bien plus opérationnelle que la version habituelle, c'est clairement ainsi que je pense qu'elle devrait être enseignée, c'est simple et efficace. Le milieu, c'est une moyenne et si on se décide à parler un jour de barycentre, cela va faciliter les choses.

stfj

@el_douwen : bonjour. Imaginons que les élèves de 6è aient beaucoup à travailler dans le premier quadrant d'un repère. C'est facile à tracer, tu utilises $\color{red}\text{la ligne rouge}$ de ton cahier comme "axe tour Eiffel" que tu n'as même pas besoin de tracer, et tu traces en noir un "axe horizontal" sur une ligne. L'exercice consiste alors à leur faire placer le point $A$ de coordonnées $5$ et $\color{red}3$. C'est un exercice du programme de 6è(repérage). En outre, tu peux consacrer au début du temps à leur faire comprendre la différence entre l'étiquette du point (la lettre $A$) et le point lui-même(l'objet mathématique dessiné sur le tableau ou la feuille de papier). En tout début d'année, intervient alors la nécessité de désigner ce point de façon plus rapide que par "le point $A$ de coordonnées $5$ et $\color{red}3$". Est introduite alors la notion de couple : une parenthèse, un nombre(ici $5$), un point-virgule, un nombre(ici $\color{red}3$) et enfin une autre parenthèse. C'est du programme et sera largement utilisé dans le chapitre nombres relatifs à nouveau à propos du repérage dans les 4 quadrants dès la classe de 5è. "Place le point $A$". "Place le point $(5,3)$". "Place le point de coordonnées $5$ et $\color{red}3$". Toutes ces phrases veulent dire la même chose résumée de façon commode en l'égalité : $$A=(5;\color{red}3\color{black})$$ A leurs débuts, il y aura beaucoup d'erreurs de confusion résumées en $(5,3)\neq(3,5)$ et c'est tant mieux : c'est en faisant des erreurs qu'on apprend les notions, les conventions, la grammaire des mathématiques... C'est pédagogique, c'est intuitif, c'est des bonnes représentations mentales d'un point, c'est conforme aux programmes. En outre, c'est satisfaisant pour un enseignant soucieux de la réussite de tous ses élèves parce que tous les élèves parviennent à faire l'exercice au bout de quelques mois et que par ailleurs c'est presque un résumé des premières lignes de Linear algebra I de Serge Lang si on fait abstraction du fait qu'en 6è et 5è les nombres utilisés en repérage seront essentiellement les entiers relatifs. 

@Vassillia : difficile de m'étendre dans un tel fil sur mes pratiques pédagogiques. En outre, comme je m'adresse à des matheux et matheuses, je vais vite et résume le paragraphe ci-dessus écrit pour tenter de répondre aux critiques de @el-douwen en "le point $(5,3)$". Mais dans ce court paragraphe, on peut, je pense, juger de ma pratique pédagogique quant au repérage dans le plan. Alors est-ce que je "perds tout le monde en classe" ? J'ai passé sur le chapitre Repérage sur une demi-droite graduée de 6è, les rappels de l'école primaire de jeux dans une grille de "bataille navale", et sur les nombreuses autres difficultés des élèves de 2023(bien compter jusqu'à dix, ne pas utiliser les interlignes mais bien les lignes du cahier,...) dont j'ai déjà parlé avec @Dom. Pour être fructueux et utile, ce travail doit être poursuivi tout le long de l'année. Par exemple, à propos du chapitre Symétrie orthogonale, la symétrie $$(x,y)\mapsto (y,x)$$ [présentée aux élèves sous la forme "au point $(5,3)$, tu associes le point $(3,5)$"] est un support intéressant pour faire une symétrie par rapport à un axe oblique et exploite à fond la différence entre $(5,3)$ et $(3,5)$ et la nécessité d'un choix conventionnel de représentation. J'ai été professeur de classe exceptionnelle à 50 ans, après des inspections qui se sont bien passées. Mon travail n'a visiblement pas choqué les inspecteurs et inspectrices qui l'ont inspecté. En outre, comme cette promotion de carrière assez rapide est due au fait que j'ai beaucoup travaillé en réseau d'éducation prioritaire, je n'ai pas pu me permettre de "perdre tout le monde en classe" et ai longtemps été contraint au plus grand pragmatisme. C'est l'objet de ce fil : ne serait-il pas pragmatique pour un enseignant de collège d'utiliser davantage ses connaissances d'algèbre linéaire durement acquises avec ses élèves pour faire faire de la géométrie? 

Dom

Méfions-nous de ce nouvel argument « bonne inspection, classe exceptionnelle ». Ça ne veut strictement rien dire, ni dans un sens, ni dans l’autre. Aussi, ça ressemble à « je me justifie » et de mon point de vue, personne n’a à se justifier ici. 

Dom

Je n’ai pas été convaincu sur les rotations… et sur les symétries non plus (sauf à travailler en long, en large, et en travers). Cette idée que je trouve intéressante ne me convainc pas : on oublie tout un tas d’angles, et tout un tas de droite. On se bride pour une raison de quadrillage. Pour moi, c’est cela, le problème, si toutefois « on ne fait que ça ». 

stfj

Il n'y a aucune différence entre "Géométrie élémentaire" et algèbre linéaire: comme l'écrit @Vassillia, pour traiter un exercice, tous les outils doivent être disponibles pour l'élève : les grotesques querelles des géomètres "synthétiques" et des géomètres "analytiques" au XIXè siècle sont aussi incompréhensibles pour nous que les discussions byzantines sur le sexe des anges.
J'ai une critique concernant l'exercice 5 de cet excellent travail d'un collègue : au collège, il me semble que la place naturelle du triangle $(3,4,5)$ est dans un repère et qu'il y a le risque suivant de l'en sortir : rendre compliqué pour des collégiens ce qui est très simple et aisément vérifiable dans le quadrillage de leur cahier. 

@Dom : je me contente de tenter de répondre aux critiques légitimes. Le fait que je sois professeur de classe exceptionnelle et que mes inspections se sont toujours bien passées n'est pas une justification mais un fait qu'il me paraît utile de donner pour rassurer sur des pratiques qui apparaissent peut-être de loin un peu hors-sol. Evidemment je ne fais pas que du repérage même si j'y consacre pas mal de temps: ce n'est qu'un support parmi tant d'autres comme le travail sur papier blanc, l'utilisation du calque, le pliage-découpage dont je suis un grand fan, j'ai même tenté des trucs comme le pantographe (mais ça ne marche pas pour moi en classe); ce que les élèves affectionnent pour la symétrie, c'est le pliage et l'utilisation de la pointe de leurs compas pour faire des trous, réaliser une équerre avec un bout de papier "rond", tracer une bissectrice avec un angle découpé en papier...

stfj

Je rappelle tout de même que je me contente dans ce fil d'enfoncer des porte ouvertes. Il suffit pour s'en convaincre de lire le chapitre 8 de Mathématiques pour le DEUG Algèbre 1ère année de François Liret et Dominique Martinais, préfacé par Michel Zisman. Quand on songe aux nombreux étudiants qui ont suivi de tels enseignements universitaires exigeants et qui sont devenus enseignants de mathématiques dans le secondaire, il me semble tout de même regrettable de ne pas enseigner suivant leur formation, ce que j'ai déjà dit dans le post original de ce fil. L'exercice substantiel de la page 170 de l'édition de 1997 consacré au théorème de Pappus, démontré dans un repère cartésien de $\mathbb R^2$ adapté à la figure, me semble plaider grâce au talent de leurs auteurs, pour une mise à l'honneur de l'algèbre linéaire en matière de géométrie élémentaire. Le célèbre livre de Michèle Audin, Géométrie, destiné à de futures enseignantes de l'enseignement secondaire français, ne consacre qu'une page, sauf erreur de ma part, à la voie d'Hilbert/Euclide, si simple à suivre, intuitive, basée sur l'expérience, que n'importe quel enfant de 11 ans l'empruntera avec enchantement. En tout cas, pour le monde universitaire auquel on confie la formation des enseignants du secondaire, le débat est tranché depuis au moins 60 ans. Et comme l'explique Benoît Kloeckner dans Un bref aperçu de la géométrie projective, difficile d'en demander plus à des étudiants, vue la difficulté des concours de recrutement. Une fois en poste, vu le niveau du public qu'ils devront servir, je doute qu'ils aient le temps de se former par eux-mêmes.

Dom

Heu… des portes ouvertes ?
La discussion vire au propos « il faut les programmes d’avant ». Mais alors on change du paradigme « en 2023, géométrie, algèbre linéaire ». Ça n’a plus rien à voir comme discussion. Ça devrait même rameuter du monde alors que c’est le week-end. J’hésite à en dresser une liste 🤣

J’avais cru d’ailleurs qu’on parlait davantage « collège » que « lycée » mais d’une part le titre ne le dit pas et d’autre part les échanges m’ont conduit à penser cela. 

stfj

@Dom : cela dépend comment on interprète les programmes. En 5è, dans le cadre des nombres relatifs, il faut enseigner à placer des points tels que $(-5,3)$ dans un repère : il faut donc introduire la notion de couple aux élèves; dès que tu disposes de la notion de couple, tu disposes même si tu ne l'écris évidemment pas comme cela aux élèves, non seulement de l'anneau $\mathbb Z$, dès que tu auras vu la multiplication des relatifs en début de 4è, mais du $\mathbb Z -$module  $\mathbb Z^2$. Autrement dit une structure très proche de celle d'espace vectoriel. Si tu veux un espace vectoriel, il te suffit de prendre le $\mathbb Q-$ espace vectoriel $\mathbb Q^2$, toujours sans le dire aux élèves comme je me suis efforcé de le montrer à travers des posts où j'ai montré ce que je faisais faire à mes élèves. On est alors tout près de $\mathbb R^2$ utilisé énormément au lycée et qu'on finit d'expliquer en première année après la Terminale ( voir l'admirable travail de Liret-Martinais). Tu veux faire faire une rotation de 27° à des élèves. Où est le problème ? Une fois qu'ils ont compris ce qu'est une rotation, peu importe le support utilisé, c'est simple. Avec un calque et une punaise, tu peux même l'envisager à l'école primaire. Où est le problème d'avoir en plus fait travailler les élèves sur la similitude : $$(x,y)\mapsto (x-y,x+y)$$ dès le début de 6è[comme je l'ai expliqué plus haut en étant mal compris sur ma pratique]. Ils n'ont pas besoin de savoir que c'est la matrice $$\begin{bmatrix}1 & -1 \\1 & 1\end{bmatrix}\approx 1+i=\sqrt2\exp(\frac{i\pi}4)$$, juste savoir que $$5-3=2; 5+3=8$$
Alors pourquoi s'en priver ?

Dom

C’est l’idée de faire d’abord du quadrillage AVANT de faire de la feuille blanche qui m’étonne. 

•Les manipulations avec découpage, calque et tout ça, oui. Avant c’était plutôt en primaire mais le faire en 6e et 5e je pense que c’est bien (certains n’en n’auront jamais fait avant…). 

•Le travail sur feuille blanche et instruments qui permet plus de liberté me semble incontournable 
•Le travail avec coordonnées, oui, et ça rentre pleinement dans les programmes en proposant en plus des choses intéressantes comme tu le présentes. 

Une autre remarque : le quadrillage, c’est énormément d’informations. Ajouter des couples de nombres pour chaque nœud, c’est encore plus d’informations. Peut-être faut-il se rendre compte de ce que cela signifie cognitivement pour au moins certains élèves. De plus ajouter des opérations pour des exercices de géométrie, ça écarte forcément des personnes qui pouvaient réussir. 

En fait, ça doit être dans le dosage que se situe le débat. Je n’ai rien contre rien, a priori. 

stfj

Jimmy Dillies réussit le tour de force de captiver un auditoire de collégiens de Cassel avec la dualité en géométrie projective. Idem avec Cécile Gachet ou Claire Voisin. Les enseignants du secondaire français devraient-ils s'interdire d'utiliser la puissance de l'algèbre linéaire alors que c'est (disons $\mathbb R^2, \mathbb R^3)$) vraiment la notion facile de base de leur formation universitaire ? J'ai un point de vue d'amateur des attracteurs de familles de contractions. Pour créer un tel attracteur sur apophysis par exemple, il est utile pour savoir ce que l'on fait, de savoir qu'une application affine de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R^2$ : $$(x,y)\to (ax+by+c,dx+ey+f).$$ Apophysis est un logiciel américain créé par des mathématiciens/ingénieurs qui n'ont globalement cure de la géométrie d'Hilbert-Euclide. Ils ont par contre des connaissances très approfondies en géométrie qui surpassent de loin celle d'un enseignant du secondaire lambda. Voici une réalisation qu'on peut envisager de faire, comme un collègue l'a fait au lycée de Bobigny : 
Je me rappelle ma rencontre il y a une vingtaine d'années avec François Gaudel, j'envisageais habitant Bobigny de participer à ses actions mathématiques à Bobigny. J'étudiais péniblement le théorème : $(K(\mathbb R^2),h)$, où $h$  désigne la distance de Hausdorff entre deux compacts, est un espace métrique complet. Je l'avais interpelé sur la difficulté de faire manipuler mathématiquement des IFS à des élèves de Terminale. Il m'avait répondu : "mais c'est simple." Et c'est vrai que c'est simple.

Dom

S’interdire, non. 

Par contre « captiver » sur une demi-journée tout le monde (presque tout le monde) peut le faire. Mais le quotidien est têtu…
Que l’on m’invite à ces prestations, mais JE choisis l’établissement et les classes. 😏

stfj

@Dom : "C’est l’idée de faire d’abord du quadrillage AVANT de faire de la feuille blanche qui [t]’étonne". C'est que je suis un petit fils de paysan. Mon père a lui-même cultivé la terre toute sa vie. Et moi-même suis resté très terre-à-terre. Alors quand je dois enseigner quelque chose, il faut absolument que je le maîtrise de A à Z. Je dois enseigner des points et des droites. Je n'ai aucune connaissance d'Hilbert-Euclide: ma seule "connaissance" est que : plus que les objets, c'est les relations entre les objets qui importent. Par deux chaises passe un unique bock de bière. Voilà, ça s'arrête là en gros. Difficile de mener une carrière de 25 ans avec si peu. Je dois enseigner des points et des droites. Un point du plan, c'est un couple de nombres. Le "plan", c'est $\mathbb R^2$, l' "espace" $\mathbb R^3$... J'ai besoin que mes élèves placent deux points $A$ et $B$ et placent le milieu $M$ de $[AB]$. Qu'à cela ne tienne : "placez $A=(3,2)$ et $B=(9,4)$. Si $A$ et $B$ sont mal placés, ce n'est pas grave pourvu qu'apparaisse le milieu. En tout cas, ceux qui ont bien placé $A$ et $B$, vous devez trouver $M$ en $(6,3)$ comme apparaît sur le tableau", où grâce au vidéo projecteur et à geogebra, on fait tout-à-coup apparaître le repère, la grille ; et on peut corriger l'exercice avec et sans repère en mesurant la longueur du segment $[AB]$ et en divisant la longueur par deux... C'est un support comme un autre facile à transmettre, dont je refuse de me priver.

stfj

stfj

@Dom : Claire Voisin l'avoue elle-même : elle était une piètre enseignante. Et il faut bien avouer que son magnifique exposé "pour des lycéens" nécessitait beaucoup de politesse de la part de son auditoire. :):)