Enseigner la géométrie en 2023 : quelle place pour l'algèbre linéaire ?

stfj

J'ai trouvé une démonstration de l'exercice indiqué en (*) dans le message précédent qui me paraît accessible à des débutants de 6è. Je vous la soumets : soit $$\{F,G\}=\mathcal C\cap d, \text{ avec }\mathcal C:=\mathcal C(E, R), \text{ avec } R \text{ suffisamment grand}$$et soit $s_d$ la symétrie d'axe $d$. Soit alors $\color{red}\mathcal C_2:=\mathcal C(F,FE),\color{green}\mathcal C_3:=\mathcal C(G, GE),$ et soit $Z:=\mathcal C_2\cap\mathcal C_3\setminus\{E\}$. $E\in \mathcal C_2\cap\mathcal C_3$ donc $E'\in s_d(\mathcal C_2)\cap s_d(\mathcal C_3)=\{E,Z\}$. $E\notin d$ donc $s_d(E)\neq E. $ Donc $E'=Z$. Ce qu'il fallait démontrer. Reste à écrire en français. Cela me laisse néanmoins songeur et je pense à la phrase de Dieudonné : "fuir comme la peste [pour l'enfant] ce qui est sans doute le plus grand "canular" de l'enseignement classique, la limitation à la règle et au compas." Avec (3,4,5) et couleurs, cela devrait passer.

raoul.S

Foys a dit : 
...Après je ne vais pas jusqu'à partager ton idolâtrie. Personne n'est obligé de faire ça.

Ça me fait penser au culte de Grothendieck par certains membres de ce forum, ça fait longtemps qu'on ne les lit plus d'ailleurs...

stfj

Dès la sixième, l'enseignant peut faire faire des homothéties vectorielles de rapport $2$ ou $3$ en faisant observer l'effet sur une figure simple(petite usine, bateau, poisson,... dans un quadrillage). C'est le début de la mise en place de la multiplication extérieure par un scalaire dans $\mathbb R^2$. Je le fais depuis 25 ans sans rencontrer de difficultés chez les élèves : ce travail dans le quadrillage a en effet été initié dès la classe de maternelle(voir lien fourni plus haut). Dès la sixième, on peut faire faire des translations simples dans un repère : c'est le début de la mise en place de l'addition dans $\mathbb R^2$. Attendre la quatrième pour parler de translation est une erreur. Dès la seconde, l'élève connaît $$xx'+yy'$$ Que tout ceci soit résumé par Dieudonné ou un autre par "quelques mois d'expériences sur le papier quadrillé devraient préparer l'élève à admettre sans hésitation que l'on fonde l'édifice algébrico-géométrique sur des propriétés dont il lui est facile de vérifier l'exactitude expérimentale" n'est pas étonnant. Il connaissait son sujet. Comme disait Joliot-Curie, je suis dieudonniste car cela m'évite de réfléchir. (Ce qu'il a écrit sur l'enseignement secondaire m'intéresse vivement parce que j'y enseigne. Son point de vue sur l'enseignement des fonctions analytiques et de la topologie générale en 1ère année et 2è année moins : je ne suis pas concerné et me suis contenté d'étudier avec intérêt Calcul infinitésimal). Ici, c'est presque des portes ouvertes; mais sur un autre forum de professeurs de mathématiques, on croise parfois un collègue qui ne sait pas ce que c'est qu'une relation d'équivalence ou un autre qui ne sait pas ce qu'est une probabilité sur un ensemble fini. Difficile alors de réfléchir sereinement à un sujet qui continue de m'intéresser.

Dom

La stratégie de l’usure continue… est-ce aussi un exutoire ?

stfj

@Dom : plaît-il ?!?

Dom

Tu persistes mais ne trouves pas d’écho… qu’en conclure ?

Vassillia

Mais... mais je ne suis pas dieudoniste pour autant il se trouve que ces propositions d'exercices m'intéressent même si je ne ressens pas le besoin de le dire à chaque fois. Je pourrais même en avoir besoin dans l'avenir si je dois faire des documents pour le collège.

Travaillant en hors contrat, le programme officiel est plus un conseil qu'autre chose et donc je me pose la question de ce qui est faisable ou pas dans l’intérêt de l'élève. Bref, @stfj n'hésite pas à poster des exercices, ce n'est pas grave si certains se plaignent.

Dom

Je ne me plains aucunement des exercices pour ma part. Mais du discours qui a changé en « il faudrait que ce soit comme ça » qui n’était pas du tout le thème initial. 

biguine_equation

Comme dit l’autre: « La réponse est oui. Mais quelle était la question ? »

Vassillia

Je propose "est-ce qu'on peut virer la géométrie d'Euclide de l’enseignement en 2023 pour proposer mieux (du moins si on a le choix professionnellement parlant) ?"

Ce n'est pas tout à fait la même chose que la géométrie euclidienne qui se sert des coordonnées.

pldx1

Bonjour, $\def\cc{\mathbb{C}} \def\crra#1#2{\operatorname{cross\_ratio}{}_{#2}\left(#1\right)}$

Puisqu'on cause du modèle de Poincarré de la géométrie hyperbolique, eh bien, causons-en. 
Et pour cela, mieux vaut commencer par rappeler quelque résultats. 

1. Les initiales $\cc,P,K$ veulent dire ici: complex plane as usual, Poincaré et Klein.
2. On se donne les points $A,B$ du plan de Poincaré par leurs $\cc$-coordonnées projectives $z_{1}:t_{1}:\zeta_{1}$ et $z_{2}:t_{2}:\zeta_{2}$. On définit $\widehat{A},\widehat{B}$ comme étant les inverses de $A,B$ par rapport au cercle horizon (le $\cc$-cercle unité usuel, noté $\Gamma$ dans ce qui suit).
3. La droite $\Delta_{P}\left(A,B\right)$ est définie comme étant la partie visible du $\cc$-cercle passant par $A,B,\widehat{A},\widehat{B}$. On note $\Omega_{AB}$ son $\cc$-centre et $W_{3},W_{4}$ ses intersections avec l'horizon ... qui sont donc les deux points à l'infini de la droite $\Delta_{P}\left(A,B\right)$.
4. La distance entre deux points s'obtient par un double processus:
   1. la métrique locale au point $M$ est l'image de la métrique locale au point $O$ par le transporteur homographique défini par $O\mapsto M,\Gamma\mapsto\Gamma$. Et, comme de juste, la métrique locale en $O$ est la métrique euclidienne.
   2. la métrique globale s'obtient par intégration de la métrique locale. On obtient: \[ \mathrm{d}_P\left(A,B\right)=\ln\crra{A,B,W_{3},W_{4}}{} \] où $W_{3},W_{4}\in\Gamma$ et $W_{4},A,B,W_{3}$ sont P-alignés dans cet ordre.
   3. Pour éviter que d'éventuels naufragés viennent nous péter une durite, je précise que je ne recommande pas l'enseignement de cette formule dès la classe de sixième.
5. La P-médiatrice de $\Delta_{P}\left(A,B\right)$ peut se calculer comme la P-droite orthogonale passant par le milieu $M\in\Delta_{P}\left(A,B\right)$. C'est l'avantage de la méthode algébrique: pas besoin d'une inspiration mirobolante, il suffit tout juste de ne pas s'effrayer devant quelques lignes de calcul.
   1. L'équation $M\in\Delta,\;\mathrm{d}\left(A,M\right)=\mathrm{d}\left(M,B\right)$ fournit deux $\cc$-solutions $M,\widehat{M}$ inverses l'une de l'autre.
      
   2. Soient alors $H_{1},H_{2}$ les $P$-points à l'infini de la $P$-médiatrice et $\Omega_{HM}$ son $\cc$-centre. Alors $\Omega_{HM}$ est à l'intersection des $\cc$-droites $W_{3}W_{4}$ et $AB$.
   3. Et alors la $\cc$-droite $H_{1}H_{2}$ est la $\cc$-perpendiculaire issue de $\Omega_{AB}$ sur la $\cc$-droite $O\Omega_{HM}$.
6. En fait, on peut plus ou moins intuiter les propriétés ci-dessus, permettant une introduction heuristique de cette construction.
7. Une fois que l'on a tracé les 3 médiatrices, il est facile de constater qu'il s'agit de 3 $\cc$-cycles d'un même faisceau. En particulier, il est facile de constater que leurs 3 $\cc$-centres sont $\cc$-alignés.

L'enseignant en collège pourrait tirer profit de comparer la situation euclidienne usuelle avec la situation hyperbolique, afin de voir précisément où et pourquoi le raisonnement "euclidien" se trouve pris en défaut. Et donc éviter les preuves par intimidation qui seraient horriblement "hors piste" dans un autre contexte. 

Si l'on veut en causer aux apprenants avant l'Université, il y a un "léger" obstacle. La construction de la médiatrice hyperbolique n'est pas très difficile à intuiter: il faut grosso modo trouver un grand cercle  orthogonal à deux autres. Par contre démontrer l'égalité des distances hyperboliques $d(D,A)$ et $d(D,C)$ suppose de savoir expliciter ces distances, et cela n'est pas simple.


Cordialement, Pierre

pldx1

Le même, avec un peu de recul.

nicolas.patrois

Poincaré n’est point carré.

pldx1

Combien de "r" à Poincaré ? 

On prend la moyenne entre "rr" une fois et "r" deux fois. Cela donne $4/3\simeq 1.33$.

Quant à transcrire cette propriété dans le modèle de Klein, je n'ai pas d'inspiration pour le moment.

Bien à toi.

Dom

Carrément !
Le film « RRRrrrr!!! », combien ?

stfj

Voici un exercice résolu intéressant issu d'un article wikipédia sur le birapport à peine plus difficile que certains exercices de 3è sur le théorème de Thalès : 
Pour ma part, je n'ai comme seules connaissances de géométrie projective que celles issues de la géométrie projective linéaire. Si l'on me demandait un jour d'enseigner en 3è/seconde à faire de tels calculs, je ne pense pas que je trouverais pertinent pour les élèves de les orienter un tant soit peu, vers la géométrie projective du 19è siècle. A à quoi bon surcharger leur mémoire de soi-disant "axiomes" qu'il leur faudra s'empresser d'oublier ?

stfj

 Déclaration de l’inspecteur général J. Moisan : "La géométrie c’est les mathématiques de papa... Je crois qu’on peut donner une formation d’aussi bonne qualité tant en contenus qu’en compétences acquises en enseignant les mathématiques discrètes, les statistiques ou l’algorithmique  qu’en enseignant la géométrie d’Euclide."(in Postface : l'enseignement de la géométrie, Daniel Perrin, p. 4). Je me rappelle une réunion à laquelle j'étais convoqué, réunissant des inspecteurs, des enseignants de mathématiques et des enseignants du primaire où un inspecteur avait lancé : "j'espère que vous ne faites pas de démonstration en géométrie; on peut tout aussi bien faire des démonstrations en calcul." J'en étais resté estomaqué. Pour moi, ne pas faire de démonstration en géométrie, c'est renoncer à enseigner.  Quant à baptiser "algorithmique" le b.a.-ba de scratch conçu pour des enfants de 8 ans, que nombre d'élèves de 3è ne parviennent pas à maîtriser(je parle du b.a-ba et non de scratch), comme en témoignent les nombreuses copies de brevet que j'ai corrigées, je trouve que c'est s'exposer un peu. Je ne suis donc pas le seul à dire ou écrire des âneries. Je pensais pourtant enfoncer des portes ouvertes. Peut-être pas si fréquemment ouvertes que cela. Qui a écrit "l'esprit de géométrie infuse partout dans la mathématique contemporaine" ?

nicolas.patrois

stfj : surtout que tu fais de la démonstration en calcul appliqué à la géométrie.

Dom

Enfoncer des portes ouvertes : oui, tu le fais en disant, en gros que les programmes ne devraient pas être ce qu’ils sont. 

Voir les innombrables fils sur ce sujet. 

Là où je t’ai trouvé intéressant c’est tout au début. Des exercices mêlant calculs, coordonnées et géométrie (par la constatation…). 

Mais tu mélanges les deux sujets. 

Enfin, citer des gens ne donnent pas raison. 

stfj

Il n'y a pas de différence entre "algèbre" et "géométrie".

biguine_equation

La vache ! Les propos de l’inspecteur général dont hallucinants ! D’un autre côté, ils expliquent tellement de choses sur la situation actuelle de l’enseignement mathématique (pas seulement en géométrie).

stfj

Je n'ai jamais pensé, pas un seul instant, que les programmes "ne devraient pas être ce qu’ils sont" (du moins en collège; je connais très mal le lycée). J'ai toujours trouvé les programmes de collège globalement très bien faits. La seule chose que je veux bien reconnaître avoir dit, c'est qu'il suffirait de remplacer $$\vec{AB}$$par $$B-A$$ et insister davantage auprès des élèves sur la structure d'espace vectoriel euclidien de $\mathbb R^2$ et laisser tomber la structure affine inaccessible aux lycéens. Là s'arrête mon propos quant à d'éventuelles modifications de programmes.

stfj

Résumons en nous efforçant de ne pas être pathétique: la translation de vecteur $u\in \mathbb R^2$, c'est $t_u:\mathbb R^2\to \mathbb R^2,A\mapsto A':=A+u$. On a bien sûr $\forall M\in \mathcal P:=\mathbb R^2, M'-M=u$, (puisque $M':=M+u$, KISS), ce que l'on représentera aisément sur des dessins tels que ceux faits depuis la classe de 6è. On définit un parallélogramme $(a,b,c,d)$ comme un quadruplet tel que $a-b=d-c$. Soit par ailleurs $u=(x,y)\in \mathbb R^2$ et $\lambda\in \mathbb R$. On définit $\lambda.u$ par $$\lambda.u:=(\lambda x,\lambda y)$$On fera de façon profitable le lien avec les homothéties vectorielles vues dès la classe de 6è.

Je ne critique pas les programmes, je critique la façon dont ils sont envisagés - concernant la géométrie - par certains de mes collègues comme ici Yvan Monka. Adopter de telles présentations en prétendant apporter une aide est parfaitement inutile et même nuisible. Si on a la naïveté de croire en la pertinence d'une telle présentation pour apporter une aide en mathématiques, c'est qu'on a besoin soi-même de l'aide en mathématiques qu'on prétend apporter. (ces commentaires n'engageant évidemment que moi.)

Dom

« Adopter de telles présentations en prétendant apporter une aide est parfaitement inutile et même nuisible. Si on a la naïveté de croire en la pertinence d'une telle présentation pour apporter une aide en mathématiques, c'est qu'on a besoin soi-même de l'aide en mathématiques qu'on prétend apporter. »

Tout ce paragraphe est valable venant de chaque paroisse. Ce fil et certains de tes message pourraient très bien avoir pour réponse ce paragraphe-là. 

Donc, pas de panique. 

Comme j’aimais bien la série X-Files, j’oserais conclure par « la vérité [sur l’enseignement] est ailleurs ». Je dis ça « pour faire bien » mais aucunement pour que l’on me demande ce que je voudrais dire par là. 

stfj

Nous rappelons que la notion d'espace vectoriel est une notion extrêmement simple, nous l' appelons une "structure élémentaire".

Vassillia

Je ne suis qu'à moitié d'accord, pour moi, il est pertinent de "voir" la translation comme le déplacement du point d'origine vers le point d'arrivée et le vecteur caractérise ce déplacement.
Le tout début de la vidéo sur le glissement du téléphérique me convient tout à fait, j'ai décroché ensuite car je n'aime pas trop la définition "direction, sens, longueur".
Comme on a l'habitude de pratiquer ce genre de déplacement depuis tout petit soit directement en ligne droite, soit par nombre de pas en avant/arrière et droite/gauche cela revient assez naturellement à donner tes formules.
Pour moi, on ne peut pas commencer non plus par le calcul tant que l'élève "ne voit pas" de quoi on parle, c'est difficile à définir cette vision car elle ne peut venir que de son expérience personnelle et il n'y aura plus qu'à la formaliser.

stfj

Ce ne sont pas "mes formules", c'est la définition de l'espace vectoriel réel $\mathbb R^2$, c'est de la mathématique, c'est de l'algèbre linéaire on ne peut plus élémentaire. Ce que fait Monka, je ne sais pas ce que c'est : si c'est de la mathématique, je n'en ai jamais entendu parler. Si c'est de la physique de physicien retors aux maths, pourquoi pas ?

Vassillia

Que ce soit de la mathématique ou pas, j'avoue que je m'en fiche un peu, ce qui compte pour moi, c'est ce que l'élève peut en faire.

Encore une fois, je suis plutôt d'accord avec toi donc j'imagine que je le présenterai ainsi mais pas avant qu'il ait pu manipuler le concept un minimum.

Lui faire faire des calculs pour lui faire faire des calculs ne sert pas à grand chose non plus.

stfj

Ici, on donne la "définition" de deux vecteurs colinéaires : "ayant même direction" . Puis une "propriété" : deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires ssi l'un deux est égal au produit de l'autre par un réel. Vérifions. Soit $u=0$ et $v$ quelconque. $\exists k\in \mathbb R (k=0) : u=kv$. Donc, d'après la "propriété", $0$ et $v$ sont colinéaires. Autrement dit, $0$ et $v$ ont même direction. QUESTION :  qu'est-ce que la "direction" de $0$?

Dom

Je suis d’accord avec Vassillia sur ce point. On « voit » d’abord, quand on est petit, pliage/miroir/manège/téléphérique. 

J’appelle ça des définitions empiriques (donc non mathématiques et il faut être explicite là-dessus). 

Puis en y regardant de plus près, on trouve des définitions mathématiques (milieu/médiatrice/parallélogramme). 

Bien entendu, ces visons/images mentales contiennent un trajet, une cinématique, alors qu’une fonction envoie juste chaque élément sur un élément image sans se soucier du chemin parcouru. C’est le seul « danger » de ces visions. Mais bon sang il faut bien qu’on passe par là, me semble-t-il, pour ensuite s’en détacher. 

Croire qu’on a tout réglé avec « une translation $u$ c’est tout ce qui est [il existe $a$ et $b$ tels que $u : (x;y)\mapsto (x;y)+(a;b)$], point final, c’est tout et c’est comme ça », de mon point de vue, c’est se leurrer éhontement. 

Faut-il aussi savoir d’où sortent les mots « rotation », ou « translation » ? Le codage par les coordonnées est d’une efficacité redoutable. Mais qu’est-ce qu’on fait si l’on n’a que ça ? Que des calculs dans un espace vectoriel. Super… c’est l’envie de certains pour leurs propres raisons. 

Ensuite, d’affirmer « il n’y a pas de différence entre algèbre et géométrie », je trouve cela osé à bien des égards. 

stfj

 « il n’y a pas de différence entre algèbre et géométrie »(Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal, p.2 du chapitre 0) Je rappelle que je suis dieudonniste, cela m'évite de réfléchir.

Dom

Le problème c’est que lui disait ça pour faire réfléchir. Il faut peut-être quitter le premier degré. 

Et ce n’est pas parce qu’il dit quelque chose que c’est vrai. 

stfj

Je suis amateur de fractales dans $\mathbb C=\mathbb R^2$ et si l'on recontextualise le « il n’y a pas de différence entre algèbre et géométrie », je peux t'assurer que pour moi, c'est loin d'être du "premier degré" : dans ce domaine, j'ai beaucoup travaillé et ai pu à de nombreuses occasions observé la pertinence de l'affirmation « il n’y a pas de différence entre algèbre et géométrie » au moins dans ce petit jardin mathématique que j'ai cultivé.

Magnéthorax

Pour parler d'aire et de volume au collège, doit-on aussi introduire le déterminant ?

stfj

16 longues minutes pour introduire enfin le produit scalaire ici. Je propose de l'introduire comme Serge Lang (début de Linear algebra I), en 20 secondes : $$xx'+yy'$$
Quant à l'autre façon de faire, "cela implique des inconvénients pour ne pas dire des objections(a)...(b)...(c)..."(Interéditions, 1976, p. 20)

stfj

@Magnéthorax : les aires et volumes tels que présentés usuellement au collège à partir de la classe de 6è, ça me va parfaitement.

stfj

@Vassillia : je te rejoins complètement, je suis d'accord avec ton dernier message : faire faire des calculs pour faire faire des calculs ne sert pas à grand chose. D'ailleurs, je n'arrête pas de le répéter à mes élèves : faire des calculs pour faire des calculs a un intérêt limité. Par exemple $$-3\times4+(-4)\times (-3)$$ $$=-12+12=0$$bof ! Par contre, l'égalité J.M=0 est intéressante, même si c'est la même égalité.

Dom

Bon, je te laisse à tes certitudes. Ce n’est plus mathématique, ce n’est plus pédagogique mais désormais idéologique et de l’ordre du hobby. 

Quant au « premier degré », je parlais de l’ânerie « cela m’évite de réfléchir » que, de mon point de vue, tu appliques un peu trop à la lettre. 

Ce n’est plus un échange mais un rouleau compresseur de tes passions. Tu ne m’as pas convaincu. 

Bye bye. 

Vassillia

Si on décide de se lancer dans une introduction à la géométrie hyperbolique avec les modèles de Klein et Poincaré, je propose de leur présenter d'abord https://www.geogebra.org/m/bzTEJreV

Les points bleus sont mobiles donc ils peuvent manipuler un peu et bouger la figure 3D au point de superposer les disques.

stfj

Soit $\mathcal P$ le plan affine euclidien de dimension deux. Quand on souhaite montrer que toute isométrie affine $f$ est une composée de réflexions, on examine d'abord le cas où $f$ a trois points fixes, auquel cas c'est $I_{\mathcal P}$; puis le cas où $f$ a deux points fixes $A$ et $B$. Soit alors $M\in \mathcal P $ et $M':=f(M)$. Les égalités $AM'=AM$ et $BM'=BM$ entraînent que $(AB)$ est la médiatrice $d$ de $[M'M]$  et enfin que $f=s_d$. C'est une démonstration classique qu'on trouvait dans les manuels de $première $ et $TC$ il y a peu. Ce qui me frappe puisque je suis en train de travailler avec mes élèves de sixième sur l'exercice suivant, c'est la proximité entre ce qu'on peut commencer à initier en sixième et ce résultat sur $Isom\mathcal P$ . Comme je l'ai écrit plus haut, j'ai un peu hésité à faire travailler les élèves sur cet exercice mais finalement, cela leur plaît beaucoup avec un habillage d'enquête policière mathématique( recherche d'un "suspect" $Z$, manipulation de geogebra, travail sur feuille blanche, identification de $Z$, on prouve que c'est le "coupable", ie que $E'=Z$, nécessité d'une preuve irréfutable pour éviter de mettre un innocent en prison,...) Intuitivement, il y a quand même cette zone subtile où on oeuvre peut-être trop près des axiomes.

stfj

Comment faire appréhender la notion d'espace projectif à un enfant de dix ans ? La question n'est pas aussi saugrenue qu'elle en a l'air puisque chatGPT qui a consulté une myriade de données issues d'échanges divers et variés, y répond de façon développée et intéressante : j'avais envisagé toutes les réponses qu'il m'a fourni avant de poser la question. Ce qui m'a particulièrement intéressé dans sa réponse est la proposition de parler de billes équivalentes de mêmes couleurs, ce que j'avais fait en plaçant des points dans un repère : 

stfj

Presque faisable en 3è, en tout cas guère plus difficile que certains exercices classiques sur le théorème de Thalès en 3è, ici un exercice pour vérifier la conservation du birapport : $$[C:B:A:M]=[H:K:L:N]=\frac{10}{9}$$

On peut enseigner bien des choses dans l'enseignement secondaire : éléments de géométrie projective, hyperbolique, algébrique, géométrie d'Euclide/Hilbert/Birkhoff, transvections dès la classe de 6è via l'algèbre linéaire, ... pour se restreindre à la géométrie. Statistiques, probabilités, algorithmique, mathématique discrète comme le propose Jacques Moisan. Physique mathématique pour Yvan Monka. Tout cela suivant ses goûts et ses dégoûts personnels. Le rôle d'un éducateur n'est pas d'enseigner selon ses choix propres mais d'identifier les besoins communs à tous ses élèves pour éviter une dispersion nuisible et concentrer les efforts vers l'assimilation par l'élève des éléments essentiels à sa formation présente et future : de par sa simplicité rappelée par André Lichnérowicz par exemple, l'algèbre linéaire est un de ces éléments maltraités depuis fort longtemps par l'enseignement secondaire. Après une longue période de latence, la notion de groupe est devenue familière. Mais une certaine discrétion continue à entourer même chez les enseignants du secondaire la notion d'espace vectoriel réel.

stfj

On rappelle qu'au temps d'Euclide, on parlait de "points", de "droites", de "plans", de "cercles" en leur affectant d'emblée le sens que nous leur connaissons sans voir que ce ne sont pas là des définitions mathématiques mais des objets naturels et que cela ne constitue pas une science mathématique proprement dite.

stfj

Réponse de chatGPT à la question  : "comment expliquer la structure d'espace vectoriel réel de dimension deux à un enfant de dix ans ?"

nous pouvons expliquer les vecteurs sur un plan en utilisant des coordonnées. Nous pouvons imaginer que le plan a deux axes, un axe horizontal appelé l'axe x et un axe vertical appelé l'axe y.

Chaque vecteur peut être décrit en utilisant deux nombres, qui sont les coordonnées du point où le vecteur se termine par rapport aux axes x et y. Par exemple, si nous avons un vecteur qui se termine au point (3, 4), cela signifie qu'il se déplace 3 unités sur l'axe x et 4 unités sur l'axe y.

Nous pouvons additionner deux vecteurs en ajoutant leurs coordonnées séparément. Par exemple, si nous avons deux vecteurs (2, 3) et (1, 2), leur somme sera (2 + 1, 3 + 2) = (3, 5).

Les coordonnées peuvent également nous aider à comprendre comment les vecteurs peuvent être multipliés par des nombres. Si nous multiplions un vecteur (2, 3) par 2, nous obtenons (2 * 2, 3 * 2) = (4, 6).

En utilisant des coordonnées, nous pouvons facilement visualiser et manipuler les vecteurs dans un espace vectoriel réel de dimension deux.

stfj

Je crois qu'on a trop négligé la période de latence nécessaire pour que la notion d'espace vectoriel réel devienne suffisamment familière à tous pour qu'on envisage de l'enseigner dès la classe de seconde. Néanmoins, le ver est dans le fruit, tout comme cela fut le cas lors de l'invention d'une géométrie pour l'école primaire au 19è siècle.

Magnéthorax

@stfj : pour les aires et volumes, tu n'utiliserais donc pas l'algèbre (multi-) linéaire et tu trouves que ce qui est proposé aujourd'hui est convenable; soit le contraire de ce que tu penses pour l'orthogonalité, les longueurs, les angles, les transformations. Sans plus d'éclairecissement, cela me paraît contradictoire.

stfj

@Magnéthorax: je ne sais pas si ce que je vais dire va surprendre. Pour moi, l'esprit de l'utilisation des aires au collège à partir de la 6è est lié au théorème très intuitif (même pour des enfants à partir de dix ans quand on ne leur parle pas de tribu borélienne) suivant : 

Théorème. - Soit $\mathcal T$ la tribu borélienne dans $\mathbb R^2$. Il existe une fonction $A\mapsto aire(A)$, et une seule, définie dans $\mathcal T$, à valeurs $\geq 0$ finies ou non, possédant les propriétés suivantes : 
(i) Si $A_1,A_2,A_3,...$ sont des ensembles boréliens deux à deux disjoints, on a $$aire(A_1\cup A_2\cup...)=\sum_{i=1}^{\infty}aire(A_i)$$
(ii) $aire([a,a']\times[b,b'])=(a'-a)(b'-b)$

Je trouve que ce que propose par exemple Daniel Perrin ici, est beaucoup trop ambitieux pour mes élèves de troisième, même si j'adore son exposé, et rêverais de pouvoir appliquer toutes les idées géniales qu'il fournit, avec mes élèves. Ensuite en seconde, on a très vite la formule liant l'aire d'un parallélogramme au déterminant.

stfj

Voici un exercice que m'a inspiré l'intervention de Daniel Perrin. On y trouve des transvections $[(x,y)\mapsto (x+\lambda y,y)]$, translations, rotations [Je ne sais pas intégrer l'outil ROTATION dans une ressource geogebra. C'est la raison pour laquelle il faut, avant de commencer, "ouvrir l'appli geogebra".] Toute remarque critique constructive serait la bienvenue.

stfj

Très vite, dans l'enseignement, supérieur est mis en place par exemple le $n-$ième coefficient de Fourier d'une fonction $f$. C'est la composante de $f$ selon $w_n:x\mapsto e^{\mathrm i nx}$. L'aspect géométrique de ce problème est très fécond, et bien plus parlant qu'une simple "formule" telle que $$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\bar{w_n}(x)dx$$Ceci plaide évidemment pour l'intérêt de l'enseignement de la géométrie-qui en douterait ?- mais on est tout de même loin du cercle à neuf point ou du théorème de Dandelin. Il me paraît donc important de circonscrire les réels besoins géométriques de nos élèves, depuis le maçon jusqu'à l'ingénieure. En particulier, les longs exposés sur la "définition" géométrique du produit scalaire de deux "vecteurs" du lycée apparaissent alors non seulement inutiles mais nuisibles pour l'étudiant débutant abordant le cours sur les séries de Fourier, alors qu'il aurait été si simple de lui fournir directement la formule $$xx'+yy'+zz'$$

stfj

Un argument qui me semble plaider pour une exposition dès la classe de seconde de $$\mathbb R^2$$comme du "plan", venant achever les travaux nécessairement imprécis du collège - ce dont tout élève de lycée conviendra aisément -, c'est que la géométrie en 2023 est par bien des côtés une géométrie méconnue de nos pères.

Par exemple, pour prêcher pour ma paroisse, la distance de Hausdorff entre deux compacts de $\mathbb R^2$ est une notion qui va peu à peu se répandre dans des cercles de plus en plus larges; déjà de nombreuses illustrations d'attracteurs de famille de contractions( fractales) apparaissent dans les livres de lycée voire de collège; des actions comme celles de François Gaudel au lycée de Bobigny ont montré qu'on pouvait faire travailler un peu sérieusement les élèves sur ces objets mathématiques qui ne manqueront pas de susciter des vocations. Or, on imagine mal aborder la distance de Hausdorff entre deux compacts dans le cadre de la géométrie d'Euclide/Hilbert/Birkhoff. Cependant, la distance de Hausdorff $h$ entre la frontière d'un triangle, $Fr(T)$, et le triangle $T$ lui-même est le rayon $R $ du cercle inscrit.