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Enseigner la géométrie en 2023 : quelle place pour l'algèbre linéaire ?

Bonjour
Un sujet m'intéresse depuis des décennies maintenant : comment enseigner la géométrie disons à partir de 9/10 ans jusqu'aux classes terminales des lycées ?
J'ai un avis qui peut paraître peu nuancé, toujours le même depuis des décennies : faire table rase du passé: "Mort à Euclide", pour reprendre une injonction célèbre (colloque de Royaumont sur l'enseignement des maths , 1959 ).
Voici quelques arguments : 
1. Il me semble déraisonnable de demander à des enseignants de suivre une voie, en substance la voie d' Euclide , alors que la seule chose qu'ils en connaissent est ce qu'ils ont pu penser en retenir de leurs propres études secondaires avant d'abandonner cette voie dans le supérieur;
2. L'un des avantages de l'algèbre linéaire, c'est qu'elle permet de présenter tous les développements de la "Géométrie élémentaire" d'une façon parfaitement rigoureuse, et cela sans effort; pour les plus jeunes des élèves on se contentera évidemment de les faire travailler dans l'espace vectoriel $\mathbb R^2$ ou même dans le $\mathbb Z-\text{module }\mathbb Z^2$ : par exemple, soit $A=(0,0), B=(8,0)$ et $C=(6,0)$ : le centre du cercle inscrit dans $ABC$ est $I=(2,2)$; beaucoup d'élèves de 6è ont du mal à faire de la symétrie axiale avec une équerre mais aucun avec $(x,y)\mapsto (y,x)$, symétrie orthogonale par rapport à la première bissectrice...
3. Évidemment peu de tentatives semblent plaider pour le deuxième point auquel on risque d'opposer l'échec de la réforme des "maths modernes" mais des auteurs tels que Serge Lang par exemple dans Linear Algebra, ont montré a quel point on pouvait simplifier l'enseignement du produit scalaire par exemple en le présentant comme la forme bilinéaire symétrique définie positive $((x,y),(x',y'))\mapsto xx'+yy'$ et l'on sait que beaucoup d'enseignants français de seconde, première, terminale y avaient/ ont recours. Je crois qu'aux Etats-Unis, c'est devenu la norme.
4. Considérons la géométrie projective supprimée des programmes de l'agrégation en 2010 je crois : considérer un espace projectif comme le quotient d'un espace vectoriel privé de 0 n'est jamais qu'une approche abstraite pédante qui revient à l'usage des coordonnées homogènes des anciens et tout enseignant serait à même de traduire en termes simples cette approche abstraite : d'ailleurs même Claire Voisin dans un exposé qu'elle faisait à des lycéens se limitait à $\mathbb R P^2$ et tout le monde conviendra qu'il est aberrant qu'un enseignant ne sache pas donner du sens au fait que  deux droites parallèles se coupent à l'infini.
5. Bref commencer l'algèbre linéaire dès la seconde est une nécessité si l'on veut former des professeurs de mathématiques sérieusement. Quant aux autres scientifiques que les impôts servent à former, limiter l'étude de l'algèbre linéaire à sa version calculatoire, les matrices, pour former des techniciens à courte vue, est bas (comme disait Flaubert," j'appelle bourgeois tout ce qui pense bassement" :) ).
Qu'en pensez-vous ?
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Réponses

  • Je vais sans doute poser une question idiote mais...
    Il me semble déraisonnable de demander à des enseignants de suivre une voie, en substance la voie d' Euclide , alors que la seule chose qu'ils en connaissent est ce qu'ils ont pu penser en retenir de leurs propres études secondaires avant d'abandonner cette voie dans le supérieur

    Dans ce cas, réintroduisons la géométrie d’Euclide dans le supérieur ?

  • Modifié (13 Jan)
    Bonsoir stfj,
    la géométrie repérée n'est-elle pas de l'algèbre linéaire ?
    La géométrie synthétique est super bien pour faire comprendre ce qu'est un théorème : l'affirmation et sa preuve.
  • DomDom
    Modifié (13 Jan)
    Je ne crois pas que ce soit une bonne idée. 
    Quelques échanges avec des algébristes me disant qu’ils « pensent géométrie collège » (ils ne le disent pas tous comme ça) pour réfléchir me laissent à penser que toutes ces images mentales sont nécessaires avant de se plonger dans la théorie.
    J’ai remarqué d’ailleurs que l’algèbre linéaire et la géométrie « collège » n’était pas souvent mis en lien. Pour ma part, même quand les profs avaient beau « parler géométrie » en L1-L2 (DEUG) [c’était très rare], je crois que ça me passait au-dessus. Le lien ne se faisait pas. 
    Même les « matrices de rotations », je ne comprenais pas le lien avec « les rotations de 3e ». C’est dire…
    Question de maturité ?
    Question de didactique ?
    Question de l’enseignant de L1-L2 à cette époque ?
    Question de l’enseignement dans les années 2000 et avant ?
    édit : je passe sur l’expression « géométrie euclidienne » du collège sans jamais parler de produit scalaire avant la terminale (ou première ?).
  • Modifié (13 Jan)
    Les systèmes d'axiomes proposés dès la fin du 19è siècle par Hilbert par exemple, et se rattachant à la tradition euclidienne sont d'une telle complexité et d'une telle subtilité qu'il est pratiquement impossible de les enseigner avant le Master, pour des gens qui ne se destinent pas à l'enseignement dans le secondaire. D'où la nécessité si pénible de ne présenter à ses élèves que des pseudo-raisonnements qui ne résistent pas à une critique même superficielle. J'ai réfléchi récemment à démontrer que si $M$ est dans le demi-plan défini par la médiatrice de $[AB]$ du côté de $A$, alors $MA<MB$ : vous pouvez faire l'essai : un véritable défi pour le présenter à des élèves de 5è avec disons l'inégalité triangulaire. Autre réflexion récente : la notion de milieu est une notion affine et non euclidienne et pourtant depuis des décennies, on définit le milieu en faisant appel à la distance : "Soit $A$ et $B$ deux points d'un plan. $M$ est le milieu de $[AB]$ si $MA=MB$ et $M$ sur $(AB)$"... Dans un espace vectoriel, le milieu de $ab$ est $a+\frac12(b-a)=\frac12(a+b)$ et basta ! C'est bien une notion affine. Et n'importe quel élève même le pire cancre en 2023- et ce n'est pas peu dire- saura vous affirmer que le milieu de $ab$, avec $a=(3,5)$ et $b=(7,9)$ est $(5,7)$. Ne pas enseigner le b.a-ba de l'algèbre linéaire sous prétexte d'échec des maths modernes, ça suffit, cela devient d'un ridicule achevé.
  • Modifié (13 Jan)
    Prenons un classique de la classe de 5è : démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme ssi ses diagonales se coupent en leur milieu. Je mets au défi quiconque de proposer une démonstration accessible à un élève de 5è de 2023. En algèbre linéaire, je rappelle que $(a,b,c,d)$ parallélogramme   $\iff b-a=c-d\iff b+d=a+c \iff  m(b,d)=m(a,c)$. QED Ya pas photo. Non seulement c'est court mais en outre accessible même à un cancre.
  • DomDom
    Modifié (13 Jan)
    On trace des droites, dès l’école. 
    À quel moment (quel niveau ?) faudrait-il qualifier ces représentations au crayon mal taillé « d’espace affine de dimension 1 » ?
    On trace aussi des droites perpendiculaires (cycle 3). 
    À quel moment (quel niveau) faudrait-il parler du groupe orthogonal ?
    On parle de symétrie centrale en cycle 4 (disons 5e). 
    C’est une notion on ne peut plus affine, la notion de milieu. Est-ce un non sens d’utiliser un compas (objet euclidien) pour construire le symétrique de M par rapport à O ?
    Il ne s’agit pas de dénigrer ou pas les maths modernes. Je pense que c’est Hors-sujet.
  • dpdp
    Modifié (13 Jan)
    J'ai pensé comme toi, jusqu'à très récemment. Puis, j'ai fini par essayer de maitriser l'aspect géométrique de plusieurs notions (celle des rotations est un très bon exemple de @Dom) aussi bien pour mon boulot que pour essayer de les "enseigner". Eh bien, étant donné que j'ai surtout une formation algébrique (ayant bossé avec des livres de mathématiques modernes dès la L1) je me suis rendu compte que j'étais bien incapable de me représenter tout ça "figurativement". Puis, un jour je me suis dit que j'allais bosser le Lebossé-Hémery de Géométrie (de seconde). Autant te dire tout de suite qu'un nouveau monde s'est ouvert à moi.
    De plus, les professeurs mentent à leurs élèves, et c'est bien normal. Tu ne peux pas expliquer à des gamins d'à peine dix ans la théorie derrière les espaces affines (euclidiens). De toute façon ça a globalement été tenté et même si c'est amusant quand t'as la 20aine, je me suis rendu compte que ça l'était moins pour les ados. Finalement, je me demande si la commission Lichnerowicz n'aurait pas eu meilleur compte de ne changer que les programmes de lycée (Seconde, Première et Terminale) sans rien changer au primaire et au collège.
  • bonsoir @Samok, je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu appelles "géométrie repérée". S'il s'agit d'utilisation de repères et de liens avec les espaces vectoriels réels $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$, bien sûr qu'il s'agit d'algèbre linéaire. 
  • Modifié (13 Jan)
    oui c'est ça qu'est-ce que je disais par géométrie repérée
    :)
  • Modifié (13 Jan)
    @dp , ma fille qui termine cette année son école d'ingénieur m'a avoué un jour qu'elle n'avait entendu parler des translations sérieusement qu'en Terminale. Et pourtant n'importe quel enfant de 10 ans voire de 6 ans sait décaler une figure dans un quadrillage de 6 carreaux vers la droite et de 5 carreaux vers le bas. Je constate donc que comme je le fais avec mes élèves de collège, leur enseigner qu'une translation, c'est $(x,y)\mapsto (x+6,y-5)=(x,y)+(6,-5)$, ce n'est pas pire que de ne rien faire sous prétexte de "penser géométriquement" plutôt que linéairement.
  • dpdp
    Modifié (13 Jan)
    Ça fonctionne bien pour les translations... par contre va expliquer en troisième qu'une rotation dans l'espace peut se représenter par la matrice
    $$\begin{pmatrix}
    \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
    \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
    0 & 0 & 1
    \end{pmatrix}$$
  • @dp, à un facteur multiplicatif près, tu peux les initier doucement dès dix ans avec $$\begin{bmatrix}0 & -1 \\1 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1 & -1 \\1 & 1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0.6 & - 0.8\\0.8 & 0.6\end{bmatrix}...$$
  • dpdp
    Modifié (13 Jan)
    Même à l'époque ils avaient pas osé. Je m'incline et m'avoue vaincu. :D
    Plus sérieusement, j'en suis venu à la conclusion que le contenu des Lebossé-Hémery sont (à deux trois ajustement près pour tenir compte des nouvelles technos) ce qui peut se faire de mieux au collège et que la Mathématique Moderne est ce qui peut se faire de mieux au lycée pour ceux qui se destinent à faire des sciences. Ainsi, selon moi, faire de l'algèbre linéaire oui, mais au lycée, après avoir vu "géométriquement" comment ça se passe au collège.
  • Modifié (13 Jan)
    Bonjour Stfj.
    Tu as 50 ans de retard ! Autant ta proposition avait un début de sens dans les années 1970, avec la valorisation des maths (remplaçant le latin-grec), autant c'est obsolète pour les générations actuelles.
    Et j'aimerais bien savoir comment tu enseigneras l'algèbre linéaire en sixième et cinquième. J'ai fait ça en seconde CDT en 1973, avec des élèves "choisis" (50 % des collégiens étaient en apprentissage ou en BEP), et ça restait du vide pour la plupart de mes élèves.
    Mais on peut toujours rêver ...
  • Modifié (13 Jan)
    @dp, les Lebossé-Hémery sont pour le lycée, non ?  Je ne vois pas le rapport avec le collège.
  • DomDom
    Modifié (13 Jan)
    L’addition des couples ne me dérange absolument pas. C’était d’ailleurs fait en 3e jusque vers 2010 (par là…). Pour les translations, les 3e voyaient même les notations « AB flèches » et la relation de Chasles. 

    Une remarque au sujet de « n'importe quel enfant de 10 ans voire de 6 ans sait décaler une figure dans un quadrillage de 6 carreaux vers la droite et de 5 carreaux vers le bas ». Et bien non, selon les établissements, il y a beaucoup d’échecs. 
    Même pour reproduire des figures simples dont les côtés sont portés par les lignes du quadrillage. 
    Bon, peut-être que la consigne n’est pas comprise, (espérons que ce soit le cas). Ils comprennent peut-être « fais une figure un peu comme ça » au lieu de « recopie exactement la même figure avec les mêmes dimensions, nombre de carreaux, etc. ». 
    Autre source de l’erreur classique : quand on trace un segment, disons le long de dix carreaux, il y a déjà des échecs (ça fait 9 ou ça fait 11, mince alors).
    C’est en général lié à la manière de compter « dix » : compter dix noeuds du quadrillage en comptant le premier ou pas ? 
    Toutes ces évidences… n’en sont pas ! Ces choses bénignes s’acquièrent avec la pratique. Mais pour qu’il y ait de la pratique d’une notion, il ne faut pas être victime d’autres carences sur d’autres notions… et dans certains bahuts… d’autres choses sont à régler avant. 
  • Modifié (13 Jan)
    Petit rappel. Au temps du Lebossé-Hémery, dans des classes bien triées (*), la moitié d'une classe était "mauvaise en maths".
    (*) la plupart des enfants ne rentraient pas en sixième.
  • @gerard0 Bien sûr ! je n'ai aucun mal à te croire là dessus ! Peut-être devrais-je reformuler en "dans un monde idéal ce serait ce qui pourrait se faire de mieux".
  • Modifié (15 Jan)
    Et c'est bien pourquoi, au niveau universitaire, on enseigne l'algèbre linéaire puis la géométrie affine. Mais croire qu'on puisse le faire avec des enfants non intéressés par les maths est irréaliste.
    Cordialement.
  • Modifié (13 Jan)
    @gerard0 : un jour j'avais besoin que les élèves tracent un triangle quelconque. Le triangle de certains élèves étaient tellement petit qu'il était inexploitable pour le reste de l'activité, beaucoup avaient tracé un triangle équilatéral, etc... Je t'avoue que ce jour-là, j'en ai eu assez, 50 ans de retard ou pas : depuis je leur dis : tu places $A=(2,3),\ B=(11,5)$ et $C=(7,12)$ et tu traces $ABC$. Dès le début de la 6è, je leur fais tracer un cercle inscrit avec la méthode indiquée plus haut, observer le théorème de Pappus, l'hexagramme mystique de Pascal, tracer des prismes à base octogonale,...
  • dpdp
    Modifié (13 Jan)
    D'ailleurs @stfj tu parles de translations mais tu t'arrêtes où dans l'algébrisation de la géométrie de cette façon ? Prenons le Queysanne-Revuz de Seconde C (1973), voici comment ils introduisent le plan affine
    Étant donné un espace vectoriel $\mathcal{V}_2$ de dimension $2$ sur $\mathbf{R}$, on dit qu'un ensemble $\mathbf{A_2}$ dont les éléments sont appelés points, est un plan affine associé à $\mathcal{V}_2$, si et seulement s'il existe un ensemble $\mathcal{T}$ de bijection appelées translations de $\mathbf{A_2}$ dans $\mathbf{A_2}$ possédant les propriétés suivantes:
    1. $(\mathcal{T}, \circ)$ et un groupe isomorphe au groupe commutatif $(\mathcal{V}_2, +)$.
    2. Quels que soient les points $M$ et $N$ de $\mathbf{A_2}$, il existe un élément unique $t$ de $\mathcal{T}$ tel que : $N=t(M)$.

    Je ne suis pas certain que tu rencontrerais un vif succès de nos jours avec ça.

  • tu peux sans problème faire étudier très partiellement une composée d'une similitude et d'une transvection au collège comme ceci par exemple.
  • Passer de « trace un triangle (quelconque) » à « trace celui que je veux » c’est sûr que ce n’est pas la même consigne. On n’a pas besoin de coordonnées pour ça. Et c’est surtout se priver de cas particuliers de certains élèves. Je comprends cela dit que c’est agaçant quand Robert trace un tout petit truc riquiqui ou quand Annabelle prend toute la surface de la feuille. 
  • @dp, des abus ont été commis comme celui que tu cites : Queysanne-Revuz se sont clairement plantés. Jean Dieudonné s'était moqué ou pour le moins avait critiqué de tels excès. Serge Lang par exemple a montré comment on peut travailler dans $\mathbb R^2$ (début de Linear Algebra). J'ai un livre de 1972 d'Alfred Doneddu, compléments de géométrie algébrique, où les seuls espaces affines envisagés sont ceux associés à un espace vectoriel $E, (E, E, v)$ avec $v:E\times E\to E,(a,b)\mapsto b-a$. N'importe quel enfant de 10 ans est capable de placer le point $(5,3)$ dans un repère. L'espace vectoriel $\mathbb R^2$ est on ne peut plus naturel et accessible ou du moins le $\Z-$module $\Z^2$ : dès la maternelle, les enfants apprennent à placer un canard rouge dans la case $B3$. :)
  • Modifié (13 Jan)
    Le point (5,3) !!!
    Déjà, qui est-ce qui prouve qu'il est unique ?
  • Alors ne parlons même pas du « point A » 🤣, qu’est-ce qui prouve qu’il est unique ? (Blague 😀)
  • Modifié (13 Jan)
    Composée d'une similitude et d'une transvection (faisable en 5è. Alors, pourquoi s'en priver ?)

  • DomDom
    Modifié (13 Jan)
    Je suis d’accord pour dire que l’on peut s’amuser ainsi avec les coordonnées. Mais honnêtement je ne vois pas de lien avec « la » géométrie. 
    Je ne dis pas que c’est idiot, je trouve même que ça fait bien travailler cette question des coordonnées. 
    Mais à part ça… (même si ce n’est pas négligeable…) 

    Édit : s’en priver, non. Mais dire qu’on améliore la compréhension de la géométrie, je ne vois pas. J’enfonce le clou : la géométrie ce n’est donc que du calcul ? Oui en quelque sorte… mais alors c’est moche au possible !
    Aussi, j’y pense, les dyslexiques ou dyscalculiques n’ont donc que le droit de s’empêtrer dans leurs difficultés dès qu’il faut tracer un triangle. Ça m’intrigue aussi…

  • Ce matin, j'étudiais avec les 6è la propriété : l'image d'un cercle par une symétrie axiale est un cercle de même rayon. Un élève m'interpelle : "c'est assez évident, non ?" Que répondre ? Ben oui en effet c'est évident. Il faut donc pouvoir leur proposer des applications du plan dans lui-même qui ne conservent pas l'alignement ou les angles ou les longueurs voire qui transforme un segment en arc de parabole avec $z\mapsto z^2$. 
  • Ça dépend… si la symétrie axiale c’est la superposition par le pliage… alors oui… dire que c’est « superposable » est évident. 
    Si par contre on définit la symétrie axiale avec la notion de médiatrice j’aurais tendance à taquiner un peu les muses de l’élève qui trouve des choses évidentes. 
  • Je viens de lire un sondage publié en ligne par le journal "Le Monde" : une partie non négligeable (proche de 20%) des jeunes de 18-24 ans pensent que la Terre est plate (j'ignore quelle est la ou les questions posées) . Les enseignants de mathématiques qui suivent ce post constatent-ils la même chose? Car dans ce cas il faut bien savoir expliquer les relations  trigonométriques sur la sphère  (l'exemple historique souvent cité dans la presse: la mesure simultanée de l'inclination de rayons de soleil dans deux puits me semble faire une douloureuse impasse sur la méthode pour obtenir une  mesure simultanée, d'autre part on sait aujourd'hui que la Terre est aplatie aux pôles)
  • Zut, je ne comprends pas le rapport…
  • @Dom : ben oui la géométrie, c'est des nombres, non ?. Un carré, c'est $\{(\pm1,\pm1)\}$, un cube c'est $\{(\pm1,\pm1,\pm1)\}$, un tesseract c'est  $\{(\pm1,\pm1,\pm1,\pm1)\}$,... 
  • dpdp
    Modifié (13 Jan)
    @stfj N'empêche, accepter que la collection Queysanne-Revuz a commis de nombreux abus tout en écrivant des choses pareilles, j'ai du mal à te suivre.
  • DomDom
    Modifié (13 Jan)
    Oui, bien sûr. 
    Mais pourquoi alors utiliser des crayons, des règles et des compas ? Est-ce si ringard que cela ?
    Pourquoi dire à des gamins de 3 ans de ranger des pièces carrées ou rondes dans des emplacements carrés ou ronds s’il suffit de leur montrer des symboles trouvables avec un clavier ? Est-ce tant que ça ringard ?
    Pourquoi aussi la parabole du voisin n’est pas un nombre mais un objet qui capte l’émission d’Hanouna ?
    Le Rubik’cube, celui-là aussi, c’est juste un groupe pourtant. Pourquoi aller acheter du plastique quand on peut composer des éléments d’un groupe sur un papier ou un ordinateur doté d’un traitement de texte ?
    La discussion est celle de formaliser les objets. Tout est « nombre » car tout est « ensemble ».
    Ok.
    Quid de la rosace des écoliers ? C’est « réac » dirait une personne régulière sur le forum toujours plus éclairée que tout le monde.
    Bon, tout ça pour demander à nouveau : ce serait donc à partir de la 6e qu’on cesserait de dessiner des carrés pour ne considérer que des  {(±c,±c)} ?
  • Modifié (13 Jan)
    @dp, il s'agit évidemment de les initier par des exemples : $(5,3)\mapsto (-3,5), (9,2)\mapsto (-2,9),$ etc... et tu combines avec des figures (bateaux , maison, ...) Dans un livre auquel avait participé André Gramain, on trouvait la symétrie centrale $(x,y)\mapsto (-x,-y)$
  • La similitude $(x,y)\to (x-y,x+y)$ est faisable ainsi dès 10 ans.
  • Tu les inities par des exemples, "doucement dès 10 ans", avec des matrices ?
  • Modifié (13 Jan)
    @dp : je ne comprends pas ce qui te surprend : une matrice, c 'est une application linéaire. À dix ans, t'es capable de faire $(5,3)\mapsto(5-3,5+3)$ : c'est la matrice $\begin{bmatrix}1 & -1 \\1 & 1\end{bmatrix}$ C'est bien moins dur que de comprendre ce qu'est une droite qui va à l'infini et au-delà. :)
  • dpdp
    Modifié (13 Jan)
    Je ne sais pas dans quel collège d'élites tu enseignes, mais Il me semble qu'on n'a pas fréquenté les mêmes pré-ados, alors.
  • Modifié (13 Jan)
    @dp : où est la difficulté ? $5-3=2 $ et $5+3=8$; je place $(2,8) $ à dix ans comme je plaçais mon écureuil dans la case B3 en grande section de maternelle et je constate qu'on obtient une rotation composée avec un agrandissement . Où est la difficulté ?
  • Bon, j’avoue que comme c’est le début du WE… je m’interroge. Mieux vaut attendre lundi, me dis-je. 
    J’ai posé plusieurs questions, tout de même. 
  • dpdp
    Modifié (13 Jan)
    @stfj Ton problème, je crois, c'est que tu n'es pas capable de te mettre à la place du gamin de 10 piges qui ne comprends rien à rien en maths… tu me fais penser à ces personnes qui, parce qu'elles considèrent qu'une notion est triviale pour elles, alors elle est forcément triviale pour tout le monde.
  • je suis prof en collège, j'ai des élèves de 6è sur lesquels j'ai éprouvé et je continue d'éprouver ces activités : l'une d'elle est inspirée d'un livre auquel a participé André Gramain pour des 5è. Utiliser des repères et les nombres relatifs est du programme de 6è/5è... 
  • Modifié (14 Jan)
    stfj
    Pardon si j'insiste auprès des enseignants, je suis sidéré par le sondage du journal Le Monde, avez-vous en classe beaucoup d'élèves qui pensent que la Terre est plate et quels arguments utiliseriez-vous pour prouver qu'elle est ronde ?
    [Inutile de recopier le dernier message. AD]
  • Alain24 a dit :
    et quels arguments utiliseriez-vous pour prouver qu'elle est ronde ?
    Un des argument consiste à prendre l'élève, le poser par terre, prendre son élan et le shooter assez haut pour qu'il puisse voir de lui-même que la terre est ronde... :mrgreen:
  • Modifié (14 Jan)

    Ératosthène séchait déjà les cours pour regarder le football à la télévision?


    :)
  • J'enseigne au lycée depuis plus de vingt ans. Le bagage géométrique des élèves a bien changé depuis mes débuts ; il s'est beaucoup allégé. Voici quelques éléments qui peuvent éclairer le débat :
    1. Les élèves qui arrivent en seconde n'ont à peu près aucune connaissance de géométrie euclidienne , et même de géométrie tout court. Seul le théorème de Pythagore est à peu près maîtrisé, tout le reste est franchement nébuleux. Quel pourcentage par exemple connaît la formule $\frac{\mathcal{B}\times h}{2}$pour l'aire d'un triangle ? Que savent-ils des angles ? Quelle relation connaissent-ils dans le triangle ? Quelle transformation du plan maîtrisent-ils ? Que savent-ils des cercles ? Des triangles semblables ? A toutes ces questions, la réponse est la même : à peu près rien.
    2. Ils sont incapables de faire la moindre démonstration. En réalité, ils n'en ont jamais fait et le concept même de "démonstration" leur échappe dans une large mesure. On s'est contenté d'admettre quelques théorèmes/formules au collège, puis de les appliquer dans des cas simples. Il n'y a pas de raisonnement qui dépasse le niveau du certificat d'étude.
    3. Au lycée, on ne fait plus que de la géométrie repérée : en seconde, tout tourne autour des vecteurs et des droites. En 1re, c'est le produit scalaire et les équations de droites et de cercles ; en terminale, de la géométrie repérée dans l'espace. On pourrait penser que le produit scalaire demande des connaissances en trigonométrie, mais le sujet est à peine abordé (plus d'angle orienté, plus de formule de trigonométrie, plus d'étude de fonction trigonométrique). Au bac, ils ont un exercice stéréotypé de géométrie dans l'espace : coordonnées de points dans un cube, droite orthogonale à un plan, équation dudit plan, représentation paramétrique de la droite orthogonale, projeté orthogonal, distance d'un point au plan, volume d'une pyramide. Rien (ou presque) du cours de terminale n'a été démontré.
    4. Les élèves arrivent dans le supérieur ignorants en trigonométrie, faute d'en avoir assez fait au lycée. Je donne des colles en MPSI/MP et je vois leurs difficultés pour les calculs les plus élémentaires de cos et sin.
    5. Mon avis sur le programme : on a laissé tomber la géométrie euclidienne et les démonstrations afférentes ; on ne reviendra pas facilement en arrière sur ce point. Je serais partisan de faire une vraie leçon de trigonométrie dès la seconde : retour des triangles isométriques et semblables, retour du cercle trigonométrique. En première, retour des formules de trigonométrie et énoncé de relations dans le triangle. En terminale, une leçon sur les fonctions trigonométriques. Tout ceci me semble formateur, "utile", ne nécessite pas de modifier le programme du collège. Dernier avantage : on peut tout démontrer. Dans un cours de 1re spé par exemple, on peut démontrer toutes les valeurs remarquables de cos et sin ; on peut démontrer toutes les propriétés du cours sur le produit scalaire, ainsi que toutes les formules de trigonométrie. Enfin, je sais par expérience tout l'intérêt que peut avoir l'étude des fonctions trigonométriques en termes de formation : élève médiocre en 2de, je n'ai commencé à travailler en 1re qu'à partir de cette leçon. Je me souviens que je trouvais très plaisant ce plan d'attaque pour obtenir la courbe : réduction du domaine d'étude et propriétés de symétrie, calcul de la dérivée et bidouillage des formules de trigonométrie pour avoir le signe de la dérivée, tracé de la courbe. De vraies maths selon moi !
  • Modifié (14 Jan)
    rebellin a dit :
    J'enseigne au lycée depuis plus de vingt ans. ...
    Autant de bon sens d'un seul coup provoque une sensation bizarre tellement on n'y est plus habitué, mais cela fait beaucoup de bien.

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