Intégrer un produit scalaire sur une sphère

Bonjour à tous
Pour un travail de recherche, je suis amené à calculer ce genre d'intégrale :
$$\int_{\mathbb{S}^{n-1}} f\big( \langle \theta, \theta_0 \rangle\big) \mu_{\mathbb{S}^{n-1}}(d\theta),$$ où $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ régulière et $\theta_0 \in \mathbb{S}^{n-1}$ la sphère unité de $\mathbb{R}^n$.
Ce genre d'intégrale me laisse assez perplexe et je me demandais s'il était possible selon vous de l'expliciter en fonction de $f$ et de $\theta_0$.
Je vous remercie d'avance.

Réponses

  • Quelle est ta définition de l'intégration sur une variété différentielle ? 
  • Il s'agit de l'intégrale dans le sens de Lebesgue par rapport à la mesure de surface sur la sphère unité de $\R^n$
  • P.2P.2
    Modifié (13 Jan)
    Première remarque : l’intégrale ne dépend pas de $\theta_0$ et tu peux prendre $\theta_0=e_1 $ pour le calcul. Détails sur  demande.
    Deuxième remarque si tu connais un peu de probabilités, $\mu$ est la loi de $Z/\|Z\|$, avec $Z\sim N(0,I_n)$ multipliée par la surface de la sphère $C_n$ et donc $I=C_n\mathbb{E}(f(Z_1/\|Z\|)).$
    Troisieme remarque $Z_1^2/\|Z\|^2=Z_1^2/(Z_1^2+\cdots+Z_n^2)$ suit une loi $ \beta (1/2,(n-1)/2)$ de densité $(B((1/2,(n-1)/2)))^{-1}x^{-1/2}(1-x)^{(n-3)/2}$ Donc si par chance ta fonction $f$ est paire pas de panique ton intégrale est simple et vaut $$I=2C_n(B((1/2,(n-1)/2)))^{-1}\int_0^1f(\sqrt{x})x^{-1/2}(1-x)^{(n-3)/2}dx$$
    Si $f$ n'est pas paire, on peut t'expliquer comment faire, et aussi comment calculer $C_n$. Mais mon message est pour l'instant assez long comme ça.
  • Modifié (13 Jan)
    Bonsoir
    Merci beaucoup pour vos remarques, elles me sont très utiles.
    Je suis bien intéressé par la première remarque, je trouve ça étonnant que cela ne dépende pas de $\theta_0$. J'aimerais bien avoir le preuve de ce fait.
    Aussi, je trouve intéressant ce lien avec les probabilités, je n'avais pas vu les choses de ce point de vue là !
    Le cas $f$ paire est intéressant, je pense pouvoir m'en sortir pour le cas général.
  • P.2P.2
    Modifié (14 Jan)
    Soit $U\in\mathbb{O}(n)$ dans le groupe des matrices orthogonales. L'image de $\mu(d\theta)$ par $\theta\mapsto t=U\theta$ est égale à $\mu(dt)$ (ça peut être une des définitions de $\mu$). Donc si on fait le changement de variable $\theta\mapsto t$ dans l’intégrale $I$ on a $$I=\int_{S_{n-1}}f(\langle U^{-1}t,\theta_0\rangle )\mu(dt)=\int_{S_{n-1}}f(\langle t,U\theta_0\rangle )\mu(dt)$$ Comme le groupe $\mathbb{O}(n)$ agit transitivement sur la sphère on peut choisir $U$ tel que $U\theta_0=e_1$ et donc $I=\int_{S_{n-1}}f(\langle t,e_1\rangle )\mu(dt).$
    Pour traiter le cas où $f$ n'est pas paire, on observe que $I=0$ si $f$ est impaire. Donc pour un $f$ quelconque on écrit $f=Pa+Im$ avec $Pa(t)=(f(t)+f(-t))/2.$
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