Corps fini et équation

NicoLeProf

OShine, c'est ce genre de pratique que je critique : retenir par coeur des propriétés utiles dans un cadre bien précis et rare, faciles à redémontrer rapidement et pas spécialement présentes dans les cours que j'ai écrits pour l'agreg... Je ne savais même pas que ce que tu as écrit est une propriété de cours hahaha ^^'

Je ne vais pas m'amuser à retenir par cœur les centaines de propriétés de cours qui existent ! ^^' Je préfère raisonner !

Je n'aime pas et je n'aimerai jamais le "par cœur" en maths (il suffit d'un trou de mémoire et c'est foutu). De plus, connaître le cours sans raisonner derrière est inutile. Enfin, il y a déjà pas mal de choses à connaître par cœur et qui prennent du temps à retrouver pour le coup comme les séries de Fourier, les gros théorèmes d'analyse etc.

À l'agrégation interne, il est rare que l'on soit en droit d'écrire : "d'après le cours", c'est même maladroit de le faire d'après les rapports de jury.

Il faut savoir raisonner, utiliser son cerveau (merci JLapin, c'est adorable !!! ) et comprendre les concepts pour progresser.

Faire ce genre de démonstrations m'aide beaucoup à comprendre les concepts qui sont présents derrière et m'entraîne pour le concours.

Je te conseille de faire cet effort aussi et de détacher au maximum du cours (qui est bien gentil mais qui n'aide pas toujours à raisonner et à comprendre les notions en profondeur).

Ne t'inquiète pas concernant l'épuisement des correcteurs : ma prof d'algèbre de L3 et de M1 en avait marre de moi et de mes $8-10$ copies doubles aux différents CAPES blancs et elle se demandait comment je faisais pour en écrire autant en 5h. Mais j'avais toujours 20/20 : c'est le résultat qui compte ! ^^'

OShine

Ce n'est pas du par cœur, je l'ai lue et j'ai fait des exercices dans tous les exos du livre on réutilise la même propriété donc au final tu la retiens.
Même dans les démonstrations des propriétés sur les corps finis, on la réutilise souvent. 

Si t'avais que des 20/20 en L3-M1 tu devrais passer l'agreg externe plutôt non ?

OShine

JLapin a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2403719/#Comment_2403719

Il faut bien admettre des propriétés pour faire des exos.
Mais oui je suis paresseux. 

NicoLeProf

J'étais dans un cursus préparant au CAPES et non à l'agreg (j'avais peur que ce soit trop difficile à l'époque).

À l'agreg interne, je n'aurai pas le droit d'avoir le cours sous les yeux OShine... Je préfère donc faire avec les connaissances que j'ai actuellement.

OShine

Ah d'accord, puis en travaillant à côté on n'a pas le même temps que ceux qui préparent l'agreg externe.... J'espère que tu l'auras cette année 
De toute façon, ça ne tombe jamais à l'écrit les anneaux quotients, il y a que les actions de groupe et groupes quotients qui tombent.
Les corps finis sont déjà tombés aussi. 

NicoLeProf

Il y a beaucoup d'algèbre linéaire aussi ^^' Tant mieux, j'adore ça !

Je sens mieux les épreuves écrites en ce moment même si je suis moins à l'aise en analyse.
Je verrai bien ^^'

Julia Paule

Bonjour, pour répondre à la question de @gai requin, le nombre de points à coordonnées dans $\mathbb F_9$ situés sur le cercle unité sont au nombre de $8$ : $(0, \pm 1), (\pm 1,0), (\pm \alpha, \pm \alpha)$, avec $\alpha \in \mathbb F_9$ tel que $\alpha^2=-1$.

Julia Paule

Ah ah, j'ai eu une prof d'algèbre (super pédagogue par ailleurs) qui disait que les mathématiciens sont paresseux, et que c'est pour ça qu'ils inventent des méthodes et des astuces pour ne pas se fatiguer, s'éviter de réfléchir inutilement, et/ou aller plus vite !

Dom

Une prof spécialiste en probabilités disait cela aussi, de manière humoristique. « Le mathématicien est flemmard ». Il y avait un fond de vérité. On observe d’ailleurs sur ce forum des intervenants qui cherchent des preuves « en quelques lignes ». Bon, c’est certainement un malheureux raccourci de confondre « faire court » et « être flemmard ». 

[Utilisateur supprimé]

Allez dire à Andrew Wiles qu'il est paresseux 😆
Ou à Euler ou à Erdos.

Julia Paule

Mais Gauss a été paresseux pour trouver la somme des entiers de 1 à 100.

Dom

On a aussi l’expression devenue courante en maths « preuve élégante ». Quelque part ça m’agace. C’est subjectif et surtout les maths ne s’occupent pas du chemin suivi du moment qu’il est licite et qu’il mène à Rome. 

OShine

Décidément j'a bien du mal avec cet exercice, je bloque à chaque question, même avec le corrigé. 
Je ne comprends pas le corrigé de la question $5$.
Pourquoi on cherche les carrés dans $F_7$ ? Je ne comprends pas le rapport avec ce qui précède.
Je sais trouver les carrés dans $F_7$ ce sont les éléments non nuls qui vérifient $x^3=1$. 
Pareil pour les couples, je ne comprends pas d'où ils sortent les $-1$, $-2$ etc...

[Utilisateur supprimé]

@Dom
Pour un même théorème il existe un nombre infini de démonstrations, cependant si tu as le choix entre une démonstration de 10 pages et une de 30000 pages, tu vas choisir laquelle ?
Le chemin choisi est important car nous sommes limités dans le temps. 
Aussi l'élégance d'une preuve n'a rien d'agaçant😅

NicoLeProf

Oui mais bon, je préfère réussir une question avec une solution longue mais juste et qui m'inspire et que j'ai trouvée moi-même plutôt que de ne rien faire du tout hahaha ^^' Et c'est comme ça que j'aurai des points à l'agreg ! ^^'

@OShine : en effet, le lien avec les questions précédentes me semble obscur. Le seul intérêt que je vois est que l'on sait qu'il va y avoir $8$ solutions lorsque $p=7$ .

Par contre, l'intérêt de trouver les carrés dans $\mathbb{F}_7$ est présent ! Car si $(x,y)$ est solution de l'équation, tu as : $x^2+y^2=1$ mais $x^2=0$ ou $x^2=1$ ou $x^2=2$ ou $x^2=4$ dans $\mathbb{F}_7$ (en fait, tu regardes les congruences possibles de $x^2$ modulo $7$) .

Il est en de même pour $y^2$ . Tu construis ensuite un tableau à double entrée faisant apparaître les congruences possibles de $x^2$ et de $y^2$ puis de $x^2+y^2$ modulo $7$ et tu regardes quand la somme vaut $1$ dans $\mathbb{F}_7$ . Tu dois trouver que c'est le cas si et seulement si $x^2=0$ et $y^2=1$ ou $x^2=1$ et $y^2=0$ ou $\cancel{x^2=2}$ et $\cancel{y^2=2}$ (erreur d'inattention : je voulais dire $x^2=4$ et $y^2=4$, pardon ! ) dans $\mathbb{F}_7$ . Tu résous ça et tu trouves les $8$ couples solutions !

C'est sans doute compliqué, il y a peut-être plus direct mais ça a le mérite de fonctionner lol !

OShine

Je viens de comprendre l'intérêt de la question 4, on sait qu'il y  a 8 solutions.
En fait cette dernière question m'a permis de comprendre l'exercice.

@NicoLeProf

Il y a un problème dans ta solution, si $x^2=2$ et $y^2=2$ alors $x^2+y^2=2+2=4  \ne 1$ dans $F_7$ ...

J'ai fait un tableau et on trouve que les seuls carrés qui vérifient $x^2+y^2=1$ sont $x^2=1$ et $y^2=0$, $x^2=0$ et $y^2=1$, $x^2=y^2=4$.

Or, les racines carrées de $1$ sont $-1$ et $1$. Donc les couples $(0,1)$, $(1,0)$, $(0,-1)$ et $(-1,0)$ sont solutions.

Or, les racines carrées de $4$ sont $-2$ et $2$. Donc les couples $(0,2)$, $(2,0)$, $(0,-2)$ et $(-2,0)$ sont solutions.

noobey

Faux pour la dernière ligne.

Anna E

@OShine Bonjour
Pourriez-vous m'indiquer de quel ouvrage provient cet exercice-problème ?
Merci
Anna 

OShine

@noobey
Oui c'est faux car $2^2+0^2=4 \ne 1$
C'est plutôt $2^2+2^2=4+4=8=1$
Donc c'est les couples $(\pm 2;\pm 2 )$.

OShine

@Anna E
Arithmétique, Jean François Liret.

NicoLeProf

Ah oui zut, désolé OShine, il fallait comprendre pour mon tableau à double entrée : $x^2 =4$ et $y^2=4$ , pardon.

Cela ne change pas le principe de ma solution qui est bonne. C'est une étourderie, pardon ! ^^'

NicoLeProf

Voilà tu as compris ce que je voulais faire OShine, c'est le principal ! ^^

Anna E

@OShine. Merci !