Espaces de symboles
Bonjour,
Soient $X\subset\mathbb{R}^n$ un ouvert et $S^m\subset C^\infty(X\times\mathbb{R}^d)$ l'espace des symboles d'ordre $m\in\mathbb{R}$. On sait que $S^m$ est un espace de Fréchet pour la famille de semi-normes :
$\displaystyle \|a\|_{m,K,\alpha,\beta}:=\sup_{(x,\theta)\in K\times\mathbb{R}^d}\frac{|D_x^{\beta}D_\theta^{\alpha}a(x,\theta)|}{(1+|\theta|)^{m-|\alpha|}}$
où $K\subset X$ est un compact et $\alpha,\beta\in\mathbb{N}^d$ des multi-indices. De plus, si $m<m'$ on a une inclusion continue $S^{m}\to S^{m'}$, ce qui permet de munir l'espace de tous les symbôles $S:=\bigcup_{m\in\mathbb{R}}S^m$ d'une topologie localement convexe en tant que limite inductive des $S^m$. Question : est-ce que $S$ est lui aussi un espace de Fréchet ?
Soient $X\subset\mathbb{R}^n$ un ouvert et $S^m\subset C^\infty(X\times\mathbb{R}^d)$ l'espace des symboles d'ordre $m\in\mathbb{R}$. On sait que $S^m$ est un espace de Fréchet pour la famille de semi-normes :
$\displaystyle \|a\|_{m,K,\alpha,\beta}:=\sup_{(x,\theta)\in K\times\mathbb{R}^d}\frac{|D_x^{\beta}D_\theta^{\alpha}a(x,\theta)|}{(1+|\theta|)^{m-|\alpha|}}$
où $K\subset X$ est un compact et $\alpha,\beta\in\mathbb{N}^d$ des multi-indices. De plus, si $m<m'$ on a une inclusion continue $S^{m}\to S^{m'}$, ce qui permet de munir l'espace de tous les symbôles $S:=\bigcup_{m\in\mathbb{R}}S^m$ d'une topologie localement convexe en tant que limite inductive des $S^m$. Question : est-ce que $S$ est lui aussi un espace de Fréchet ?
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Réponses
Il me semble que non. Les $S^m$ sont des Fréchet, donc complets. Donc $S$ est lui aussi complet (car pour toute suite de Cauchy de $S$, il existe un $S^m$ contentant tous les termes de la suite). S'il était Fréchet, ce serait alors aussi un espace de Baire. Mais il est une union dénombrable de fermés d'intérieur vide (les $S^m$), ce qui contredit la barité (binaire -> binarité, donc Baire -> barité non ? ).
Mais à quoi servent ces espaces de symboles ? Je ne connaissais pas.
Les symboles servent à définir les opérateurs pseudo-différentiels. Les références que j'explore actuellement : Hormander The analysis of linear partial differential operators Tome III, Shubin Pseudo-differential Operators and Spectral Theory
J'ai une autre idée pour quand même montrer que $S$ n'est pas un Fréchet. Ç'a l'air de fonctionner sur un cas simplifié (mais pas trivial pour autant). Je taperai la preuve du cas simplifié demain, car il est un peu tard à présent. Ensuite, il faudra tenter de généraliser au vrai cas d'intérêt.
Quelques remarques sur ces espaces de symboles. Comme expliqué par Barjovrille ils servent à définir des opérateurs pseudo-différentiels (OPD). Prenons par exemple $-\Delta$, on sait que, sur les bons espaces, on peut l'écrire comme $\mathcal F^{-1}M_{\xi^2} \mathcal F$, où $\mathcal F$ est la transformée de Fourier et $M_{\xi^2}$ est l'opérateur de multiplication par $\xi\mapsto \xi^2$. Tout opérateur différentiel peut être représenté de cette façon en remplaçant la fonction $\xi \mapsto \xi^2$ par une fonction polynomiale en $\xi$. L'idée des OPD est d'étendre la notion d'opérateur différentiel en utilisant des fonctions plus générales que des polynômes en $\xi$. Naturellement pour avoir des propriétés satisfaisantes on veut que ces fonctions respectent tout de même certaines propriétés, c'est là qu'interviennent les espaces de symboles. Soit $a \in S^m$ un symbole, on pose\[\mathrm{Op}(a) = \mathcal F^{-1} M_a \mathcal F\] on dit que $\mathrm{Op}(a)$ est la quantification de $a$ et $\mathrm{Op}(a)$ est un OPD d'ordre (au plus) $m$. Notamment $\mathrm{Op}(a)$ envoie continument $H^s$ sur $H^{s-m}$, sans surprise la croissance de $a$ en l'infini est directement reliée à une perte de régularité des images de $\mathrm{Op}(a)$. Sous les bonnes conditions si $a,b\in S^m$ on pourra écrire des choses comme \[\mathrm{Op}(ab)=\mathrm{Op}(a)\mathrm{Op}(b)+R,\] où $R$ est un OPD d'ordre au plus $2m-1$. Ceci permet par exemple de construire très simplement des racines approchées d'opérateurs (pseudo)-différentiels ou du calcul fonctionnel plus général que ça. C'est une notion extrêmement utile en EDP et, comme le mot quantification le laisse penser, en mécanique quantique. En effet cette quantification permet de passer d'une fonction (représentant une observable classique) à un opérateur représentant une observable quantique.
$$
{\rm Op}(a)u(x)=\int_{\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d}e^{i\langle\xi,x-y\rangle}a(x,\xi)u(y)dyd\xi
$$
Dès lors ${\rm Op}(a){\rm Op}(b)\neq{\rm Op}(b){\rm Op}(a)$. Mais dès que $a(x,\xi)=a(\xi)$ ne dépend plus de $x$, alors :
$${\rm Op}(a)u(x)=\int_{\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d}e^{i\langle\xi,x-y\rangle}a(\xi)u(y)dyd\xi=\int_{\mathbb{R}^d}e^{i\langle\xi,x\rangle}a(\xi)\Big[\int_{\mathbb{R}^d}e^{-i\langle\xi,y\rangle}u(y)dy\Big]d\xi=(\mathcal{F}^{-1}M_a\mathcal{F}u)(x)$$
Manda a raison, j'ai abusé des abus de notations ! L'écriture $\mathcal F^{-1}M_a\mathcal F$ est un peu exagérée dans ce cas, mais ça y ressemble fortement :
\[ \mathrm{Op}(a)(u)(x)= \frac{1}{(2\pi)^d}\int_{\R^d} e^{i x \cdot \xi }a(x,\xi) \mathcal F(u)(\xi) \mathrm d \xi.\]
D'ailleurs Manda, d'où viens ta question ? Juste par curiosité ou bien tu as un problème qui nécessite de travailler dans $S$ tout entier ?
Étape 6 : Soient $g$ la fonction donnée par l'étape 4 et $p:\varphi \in E \mapsto \sup\limits _{\theta \in \mathbb{R}^{d}} g(|\theta |) \,|\varphi (\theta )|$. Puisque $g\in A$, $p$ est une semi-norme sur $E$. De plus, pour tous $n\in \mathbb{N}$ et $t\in \mathbb{R}_+$ (tel que $g$ est continue en $t$), il existe $\varphi\in \mathcal{C}^0_{c} (\mathbb{R}^{d} \setminus \overline{B}(0,t))$ non nulle telle que $p(\varphi)\geqslant \frac{1}{2} g(t) \|\varphi\|_{\infty }$ donc $$\frac{p(\varphi )}{p_{n} (\varphi )} = \frac{p(\varphi )}{g(t) \|\varphi \|_{\infty } }\cdot \frac{g(t) \|\varphi \|_{\infty } }{f_{n} (t) \|\varphi \|_{\infty } } \cdot \frac{f_{n} (t) \|\varphi \|_{\infty } }{p_{n} (\varphi )} \geqslant \frac12 \cdot \frac{g(t)}{f_n(t)} \cdot 1 .$$ Ainsi : $\forall n\in \mathbb{N}, \sup\limits _{\varphi \in E \setminus \{0\}} \frac{p(\varphi )}{p_{n} (\varphi )} \geqslant \frac12 \sup\limits _{\Bbb R_+} \frac{g}{f_n} =\infty $.