Grand O

Bethebesteveryday

Bonjour , svp pourquoi si on a Un=k/n^2+o(1/n^2) c’est équivaut à dire Un=O(1/n^2) ? avec k>0 et n dans N*

Bibix

Bonjour,
Parce-que c'est faux : $\frac{(-1)^n}{n^3} = O(\frac{1}{n^2})$.

L'implication est vraie par contre car $n^2\frac{k}{n^2} \leqslant k$ et $o(\frac{1}{n^2}) = O(\frac{1}{n^2})$ (si $n^2 u_n \to 0$ alors $n^2 u_n$ est borné).

Bethebesteveryday

Je parle de suites à termes positifs ..

Bibix

Ça ne change rien à la réponse... on a toujours le même problème avec $\frac{1 + (-1)^n}{n^3}$.

Bethebesteveryday

Mais on peut parler de l’implication ?

Bethebesteveryday

Je pose la question parceque j’ai fait cette étape de grand O et je voulais savoir est-ce que c’est juste ?

Poirot

Bien sûr. On a $\frac{1}{3n^3} = O \left( \frac{1}{n^3} \right)$ et $o \left( \frac{1}{n^3} \right) = O \left( \frac{1}{n^3} \right)$ donc leur somme aussi.

Bethebesteveryday

Poirot
Svp c’est quoi la définition de grand O par laquelle tu as pu en déduire que o(1/n^2)=O(1/n^2) donc y a pas de différence entre les deux ou quoi ???

en fait moi j’utilise tjrs toujours les petits o dans les DLs est-ce que je peux les faire semblablement par les grands O et pourquoi ? Merci d’avance

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Bethebesteveryday

o(1/n^2)=1/n^2 epsilon(1/n^2) où epsilon tend vers 0 quand 1/n^2 tend vers 0 , mais O(1/n^2) = ? 

Bethebesteveryday

Ce que j’ai pu comprendre c’est que par exemple dans un DL j’ai : 1/3 n^3 + o(1/n^3) = O(1/n^3)  vus que c’est un petit o + quelque chose donc ça donne grand O je sais que ce n’est pas rigoureux mais c’est ça ce que j’ai pu capter pour ce grand O .

gerard0

Bonjour.

Il serait peut-être temps de lire la définition de O. Il est assez idiot de chercher à le comprendre par ses utilisations quand on peut lire facilement sa définition sur Internet. Comme tu n'es quand même pas assez fainéant pour demander aux autres ce que tu peux très facilement faire toi-même, tu vas évidemment taper "relations de comparaison" dans ton moteur de recherche préféré.

Cordialement.

Bethebesteveryday

Je suis idiote ça c’est sûr , et puis je connais peut-être la définition et je n’ai pas pu comprendre ce qu’il faut comprendre ..

gerard0

" je connais peut-être la définition" Pourquoi "peut-être" ???

Dans toutes tes questions, l'utilisation de la définition donne la réponse.
Quand tu poseras des questions sur ce que tu as obtenu en utilisant la définition, ce sera plus sérieux.

Julia Paule

$\dfrac{k}{n^3}+o(\dfrac{1}{n^3})=\dfrac{1}{n^3} (k+o(1)) = \dfrac{1}{n^3} O(1)=O(\dfrac{1}{n^3})$.

Car $o(\dfrac{1}{n^3})=\dfrac{1}{n^3}o(1)$, car $o(1)$ est une suite qui tend vers $0$ quand $n \to +\infty$, et tu peux écrire ceci pour toute puissance de $n$, positive ou négative, tu vois comme c'est facile.

Et pareil pour $O$.

Et $k+o(1)$ est une fonction bornée (toujours quand $n \to +\infty$), qui s'écrit $O(1)$.

Bethebesteveryday

Julia Paule
Merci énormément !!

Bonne journée !

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Bethebesteveryday

Bonsoir tout le monde , svp dans le cas de grand O, est-ce que j’ai le droit de [faire] ce que j’ai fait dans ces deux lignes avec le grand O parce que (1+O(1) est déjà majoré je peux dire que 1+O(1)=O(1) tranquillement ?
Je sais très bien que je ne peux même pas faire ça et passer au équivalent (1/n) et déduire la nature de la série mais je veux comprendre les applications de ce grand O ..
Je m’excuse pour ce dérangement, mais ça m’échappe des choses intrigantes …

Alain24

Voici un contre-exemple.

$u_n=1/n-1/n=0$ est une série convergente et $-1/n=-1\times 1/n=O(1/n)$

Le sens de $O(1/n)$ est relatif à un encadrement de la suite $1/n$ par deux suites qui ne tendent pas plus vite vers 0 que $1/n$

$o(1/n)$ revient à encadrer $1/n$ par deux suites qui ne tendent pas plus vite vers 0 que $1/n$ et dont la différence tend vers $0$

Attention! Ceci vaut parce que $1/n$ a une limite finie. Pour une limite infinie $u_n$ et $O(u_n)$ peuvent avoir des croissances de natures différentes.

Bethebesteveryday

Alain24

Je m’excuse mais j’ai pas bien saisi ce que vous venez de dire. Est-ce que le résultat que j’ai donné est faux ?

[Inutile de recopier le dernier message. AD]

Alain24

Selon le contre-exemple que j'ai donné $u_n=1/n+O(1/n)$ n'entraine pas la divergence de la série de terme $u_n$,

mais $u_n=1/n+o(1/n)$ entraine bien sa divergence, peux-tu montrer ce dernier résultat ?

Dom

Ça a été dit mais j’appuie :  
Prenons la suite nulle :  pour tout entier naturel $n$, $u_n=0$. 

Alors $u_n=O(2^n)$ et $u_n=O(\frac{1}{n^8})$, par exemple. 

Je dis toujours que pour lever ces incompréhensions des symboles, il suffit de les traduire. 

$u_n=O(v_n)$ signifie il existe une suite bornée $\alpha$ telle que $u_n=\alpha_n v_n$. 

gerard0

Bonjour Bethebesteveryday.

Comme les réponses concernent la dernière ligne, je reprends le calcul qui te posait problème :

$u_n=\frac1 n + O(\frac1 n)$ permet tout à fait d'écrire $u_n=O(\frac1 n)$

En effet, il existe une suite bornée $v$ telle que $u_n = \frac1 n + v_n\frac1 n=(1+v_n)\frac1 n$ et la suite de terme général $1+v_n$ est bornée

Tu peux directement dire $u_n=O(\frac1 n)+O(\frac1 n)=O(\frac1 n)$ (évident avec la définition).

Cordialement.

NB. Tout ça se fait très facilement avec la définition. Après, dans un devoir, ce qui sera admis par ton prof dépend de lui. Essentiellement ce qui est dans le cours, un peu plus pour ceux qui comprennent bien ce qu'ils écrivent. Donc si tu connais parfaitement le cours, tu peux savoir quoi écrire.

Math Coss

Autre exemple "moins nul". On a bien $1/n^2=O(1/n)$ et pourtant $\sum1/n^2$ converge alors que $\sum1/n$ diverge.

gerard0

Attention, la question est sur le calcul avec les O, pas sur la conclusion que Thebesteveryday critique elle-même dans le message.

Math Coss

Il y a trois lignes donc deux déductions. La première est correcte ("si $u_n=1/n+O(1/n)$ alors $u_n= O(1/n)$"), la deuxième non ("dans ces conditions la série $\sum u_n$ diverge" : cela peut être faux donc on ne peut pas le déduire).

Bethebesteveryday

Merci énormément pour votre aide !

Julia Paule

Je ré-écris ici la réponse que j'ai faite en MP à @Bethebesteveryday qui me demandait si on a bien o(1/n^2)=O(1/n^2), pour compléter/rectifier éventuellement par les pros du forum :

Ben si, o(1/n^2)=O(1/n^2) c'est juste, mais dans l'autre sens O(1/n^2)=o(1/n^2), c'est faux, parce que ça se lit de gauche à droite, et qui peut le plus peut le moins : une suite convergente est bornée. Je m'explique.

o(1/n^2)=1/n^2 o(1), et o(1) c'est une suite qui tend vers 0, donc a fortiori elle est bornée, donc c'est une O(1). Donc on peut écrire o(1)=O(1), et o(1/n^2)=O(1/n^2.

Mais dans l'autre sens, une suite bornée n'est pas forcément convergente, et ne tend pas forcément vers 0, on ne peut pas écrire O(1)=o(1).

Ce n'est pas une égalité algébrique, cela se lit :  1/n^3, c'est une o(1/n^2), c'est-à-dire une suite négligeable devant 1/n^2.

Pour ton autre question, un = 1/n + 4/n^2 +O(1/n^2) = 1/n + O(1/n^2) (car 4/n^2=O(1/n^2)) = 1/n + o(1/n), donc oui u_n est équivalent à 1/n en +l'infini.

Je te fais le détail : O(1/n^2) = 1/n^2 O(1) = 1/n (1/n O(1)) = 1/n o(1) car 1/n O(1)=o(1) car 1/n->0 et le O(1) est une suite bornée, le produit d'une suite qui tend vers 0 par une suite bornée est une suite qui tend vers 0, donc c'est une o(1).

En gros, on utilise le O dans ce dernier cas (si on a une suite bornée, alors elle ne gêne pas si on fait le produit de cette suite avec une suite qui tend vers 0), et aussi parce qu'elle évite le calcul d'un terme du DL. Des fois, les calculs d'un DL sont compliqués, et on a des théorèmes qui marchent aussi bien avec le O qu'avec le o (par exemple pour les séries), le O au lieu du o évite le calcul d'un terme du développement.

J'ai eu aussi du mal avec le O, et même encore maintenant, je crois que c'est assez normal, cela vient avec l'habitude.

Merci d'avance.

Dom

Au sujet des écritures du genre $o(f)=O(g)$, il y a eu une discussion. 

Je préconisais de n’écrire que les $O(.)$ et $o(.)$ à droite des égalités et d’écrire les égalités les unes en dessous des autres (on peut aussi les enchaîner en écrivant donc, donc, donc… c’est un implicite en calculs : on n’écrit pas les théorèmes, on les applique à chaque ligne). 

D’autres n’étaient pas d’accord.

Ce message uniquement pour dire « prudence », et comme déjà dit, revenir aux définitions pour s’en sortir. 

Bethebesteveryday

Dom
Mes profs n’ont jamais parlé, ni  expliqué, ni donné des propriétés pour le grand O ; on travaille tjrs toujours avec les petits o et c’est fini pour eux, donc c’est moi qui doit faire leur travail en étant autoformateur et chercher de l’information …

Merci beaucoup !

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

[Tu ne sembles pas écouter ce que l'on te dit ! À quoi bon "parler, expliquer, donner ..." ! AD]

Dom

Ok. Je pense que c’est un autre sujet. Pour moi aussi, je n’ai quasiment vu que des $o(.)$ lors de la formation initiale. On peut à peu près tout faire avec. 

Mon message reste valable.
Par exemple, MÉFIANCE, sur ce qui suit : 
$o(1/n)=o(1/n^2)$

$o(1/n^2)=o(1/n)$ 
L’une de ces égalités est fausse et l’autre vraie (dans l’acception que je me refuse à écrire en général car génère des erreurs). 

Bethebesteveryday

Math Coss a dit :

Autre exemple "moins nul". On a bien $1/n^2=O(1/n)$ et pourtant $\sum1/n^2$ converge alors que $\sum1/n$ diverge.

pourquoi on a ce problème svp ?

Math Coss

Parce que savoir qu'une suite est plus petite qu'une autre dont la série associée diverge n'apporte pas d'information.