Ouvert dans une partie d'un ensemble

darbouka

Bonjour,
Je tente de m'initier un peu à la topologie, et j'ai une question concernant les ouverts relatifs à une partie.
On considère un evn $E$ et $A$ une partie de $E$. 
Si $U$ est un ouvert de $E$, $U$ est-il encore ouvert dans $A$ (ou dans $A \cap E$) ?

NicoLeProf

Bonjour,
si je comprends bien ta question alors la réponse est franchement non car on n'a pas assez d'infos sur $A$. On ne sait même pas si $U$ est inclus dans $A$.
Regarde le contre-exemple ci-dessous :

on prend $E=\mathbb{R}$ qui est bien un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé, $A=[0;+\infty[$ qui est bien une partie de $\mathbb{R}$ et $U=]-2;-1[$.

L'intervalle $U$ est bien un ouvert de $\mathbb{R}$ car c'est la boule ouverte de centre $x(-1,5)$ et de rayon $0,5$ mais $U$ ne peut pas être un ouvert de $A$ car $U$ n'est même pas inclus dans $A$. De même pour $A \cap E$ car dans le cadre de ta question, $A \cap E=A$ car $A$ est une partie de $E$.  

darbouka

Ok, et si $U \cap A \ne \emptyset$, $U \cap A$ est-il un ouvert de $A$ ?

JLapin

Oui, l'intersection de $A$ et d'un ouvert de $E$ est un ouvert relatif de $A$.

Pas besoin du caractère non vide d'ailleurs.

gerard0

C'est tout simplement la définition de la topologie induite sur $A$. Bien évidemment, si on prend une autre topologie sur $A$, tout ça devient faux.

Par exemple si on considère $E=\mathbb R$ muni de la topologie discrète (les singletons sont ouverts) et qu'on considère $A=[0,1]$ muni de sa topologie habituelle (de la distance), le singleton$\{0,35\}$ est un ouvert de $E$ mais pas de $A$.

Mais un "ouvert relatif" est un ouvert pour la topologie induite.
Cordialement.

darbouka

Merci beaucoup pour vos réponses.