Système articulé

pappus

Bonjour à tous

Quelle transformation simple du plan est réalisée par le système articulé ci-dessous ?

Amicalement

pappus

pappus

Bonjour à tous

On peut faire gigoter un peu le système pour deviner ce qui se passe.

Amicalement

pappus

cailloux

Bonjour pappus
Avant d'"explorer", j'aimerais que tu confirmes

Bien sûr, les points $O$ et $O'$ sont fixes.
Pour le reste, je vois 6 longueurs fixées.
Est-ce bien cela ?
Amitiés.

[Edit] J'ai tout de même fait une figure : des cercles et droites sont transformés en cercles et droites. Je crois que ce n'est pas pour moi . . .

arguesien

Bonjour,

Je crois qu'il n'y a que quatre longueurs fixées.

Il s'agit d'une combinaison de trois inverseurs de Peaucellier (deux en fait puisque les inverseurs rouge et vert sont identiques !)

ce qui nous fait, en notant $I_{O}$ une inversion de centre O :

$$I_{O} \circ I_{O'} \circ I_{O}$$

ce qui est une inversion sauf quand (EDIT ce qui suit) $I_{O'}(O) = O$, auquel cas on a affaire à une similitude indirecte.

arguesien

Je raconte n'importe quoi: c'est une similitude si et seulement si $O$ est un point fixe de $I_{O'}$

pappus

Bonjour à tous

Les points $O$ et $O'$ sont fixes et les longueurs de toutes les tiges sont données.

L'autre petit défi est de deviner ces longueurs pour que le résultat soit en principe connu au collège.

Mais notre enseignement étant réduit à ne rien dire du tout, permettez-moi d'avoir quelques doutes

Comme Arguésien l'a très bien dit, on est face à un calcul de conjugué !

Conjuguez et multipliez vous qu'ils disaient !

Amicalement

pappus

arguesien

Bonjour,

les points fixes de la transformation finale sont l'image des points fixes de $I_{O'}$ par $I_{O}$.

Lorsque $O$ a le bon goût d'être un point fixe de $I_{O'}$, on a une droite de points fixes. Dans ce cas on obtient donc une symétrie axiale ("résultat en principe connu au collège" ???), l'axe étant l'axe radical des cercles de points fixes des deux inversions.

pappus

Mon cher Cailloux

Pourquoi dis-tu que ce n'est pas fait pour toi?

Ce n'est que de la vulgaire géométrie circulaire.

Et en plus tu disposes du Lebossé-Hémery et surtout, surtout de l'Iliovici et Robert!

Il faudra bien que tu t'y mettes un jour!

Amitiés

pappus

cailloux

Bonjour pappus,
"Ce n'est que de la vulgaire géométrie circulaire."
Comme tu y vas !

A priori, les deux inverseurs de "centre" $O$ sont identiques ce que je n'avais pas remarqué.
Si $d_1$ et $d_2$ sont les longueurs des bras articulés (avec $d_1>d_2$), il correspond à l'inversion de pôle $O$ et de puissance $\sqrt{d_1^2-d_2^2}$

Même chose pour l'inverseur de pôle $O'$.
  $F=I_{O}\circ I_{O'}\circ I_{O}$
Sur cette figure, les deux cercles d'inversion sont en pointillé noir. $F$ laisse invariant le cercle en pointillé rouge de centre $O''$ qui correspond au cercle de l'inversion $F$. Il passe bien sûr par $I$ et $J$ mais pour l'instant, je ne sais pas le déterminer.

Amitiés.

[Edit] Le cercle de l'inversion $F$ est l'image du cercle d'inversion $O'$ par l'inversion définie par le cercle $(O)$.

pappus

Bonjour Cailloux

L'exercice que tu as sous les yeux revient à calculer le produit de trois inversions et en fait comme Arguésien l'a finement remarqué le conjugué d'une inversion par une autre inversion

On est vraiment au cœur de la géométrie circulaire sans même s'en rendre compte car cet exercice aurait pu être et est peut être dans le Lebossé Hémery

Alors que peut-on dire du conjugué d'une inversion par une inversion ou par n'importe quoi d'autre d'ailleurs!

C'est presque du Lebossé-Hémery quoique d'un niveau subtilement supérieur!

Les classes de conjugaison d'un groupe fut-il circulaire, c'est du nanan!

Amitiés

pappus

PS

Arguésien a pratiquement répondu!

cailloux

Je ne m'étais pas aperçu qu'arguesien avait quasiment tout dit.

Dans le cas général, avec $m_0 \in (O')$ et $m=I_0(m_0)$, il n'est pas difficile de montrer que $F(m)=m$.

Amitiés.

pappus

Bonjour à tous

On tient compte de la formule de conjugaison dans le groupe circulaire que j'ai dû citer des dizaines et des dizaines de fois ici même:

$$f\circ i_{\Gamma}\circ f^{-1}=i_{f(\Gamma)}$$

Amicalement

pappus

pappus

Bonjour à tous

Quelle est la morale de cette histoire?

On a des systèmes articulés réalisant des symétries mais aussi des homothéties, donc en principe il existe des systèmes articulés réalisant des similitudes directes ou indirectes.

En cherchant bien dans la littérature et d'après mes souvenirs dans le cours de Taupe d'Arnaudiès, on devrait trouver de tels systèmes beaucoup plus simples que ceux qui alignent des inverseurs de Peaucellier!

Amicalement

pappus