cos(nx) et sin(nx)

epiKx

Bonjour à tous
Avec des polynômes à deux variables, si on pose:
$\cos(nx)=P_{n}(\cos(x), \sin(x))$
$\sin(nx)=Q_{n}(\cos(x), \sin(x))$
Quelles sont les propriétés de ces polynômes $P_{n}$,$Q_{n}$? Avec la formule de Moivre, on peut obtenir des expressions de $P_{n}$ et $Q_{n}$. Mais que dire d'autre sur ces polynômes? Ces polynômes sont-ils bien connus ?
Merci d'avance pour toute réponse!

gerard0

Tu parles de quel livre ?

Ou bien tu t'es trompé de forum ?

epiKx

Bonsoir gerard0, 
Je chercherais un article sur le sujet si possible? Ou un exercice?
Je n’ai jamais entendu parler de ces polynômes.
Merci pour votre réponse. 

O.J

Déjà sur wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Tchebychev

epiKx

O.J, merci beaucoup, l'article est très complet (j'ai étudié les polynômes de Tchebychev mais pas de manière aussi complète). Je vais y jeter un œil. 

Math Coss

Au passage, la question est mal spécifiée dans la mesure où il existe plusieurs polynômes $P_n$ et $Q_n$ répondant à la question, compte tenu que $\cos^2+\sin^2=1$. Les polynômes de Tchebychev correspondent au cas où $\cos nx=P_n(\cos x)$ ne dépend pas de la deuxième variable de $P_n$ et $\sin nx=\sin x\widetilde Q_n(\cos x)$, i.e. $Q_n(X,Y)=Y\widetilde Q_n(X)$, où $\widetilde Q_n$ ne dépend pas de la deuxième variable non plus.

epiKx

Oui merci Math Coss, j'ai compris avec la réponse d'O.J que Tchebychev avait introduit des polynômes à une seule variable. Tchebychev a habilement esquivé la difficulté en introduisant un seul polynôme à une seule variable. Je me demande quand même si les polynômes à plusieurs variables correspondants sont si inintéressants que ça....

Math Coss

Les autres sont, me semble-t-il, $P_n(x)+(x^2+y^2-1)S(x,y)$ et $y\tilde Q_n(x)+(x^2+y^2-1)T(x,y)$ avec $S$ et $T$ quelconques.