Triangle et demi-périmètre

gipsyc

En partage, une formule peut-être utile à quelqu'un un jour ...

Jean-Pol Coulon

Très facile à démontrer à partir des points de contact du cercle inscrit.

Un corollaire

Utile dans le calcul de l'aire d'un triangle rectangle en A avec ses cercles inscrit et exinscrits.
cos α = 0
⇒ p(p-a) = (p-b)(p-a)
⇒ [ABC] = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] = p(p-a) = (p-b)(p-c)

À mettre en « perspective » avec le cercle inscrit et pourquoi pas une cliveuse ou un « splitter ».

Voici comment j'ai trouvé la formule :
si ∠BAC = α 

cos² α /2 

   = p(p-a)/bc 

   = (1 + cos α)/2

   ⇒ 

   cos α = -1 + 2p(p-a)/bc                      (1)
   1 + cos α =  2p(p-a)/bc                      (2)

sin² α/2         

   = (p-b)(p-c)/bc 

   = (1 - cos α)/2

   ⇒
   cos α = 1 - 2(p-b)(p-c)/bc                  (3)

   1 - cos α =  2(p-b)(p-c)/bc                 (4)

(1)=(3) ⇒ 

p(p-a)/bc = 1 - (p-b)(p-c)/bc 

bc = p(p-a) + (p-b)(p-c)                         (5)

(2)-(4) ⇒ 
cos α = [p(p-a) - (p-b)(p-c)] / p(p-a) + (p-b)(p-c)]    (6)
          = [p(p-a) - (p-b)(p-c)] / bc

Note complémentaire 

Comme la loi des cosinus nous donne
a² = b² + c² - 2bc cos α 
cos α = (-a² + b² + c²)/(2bc)
⇒ 
p(p-a) - (p-b)(p-c) = (-a² + b² + c²)/2

Comme cot² α/2 = (1 + cos α) / (1-cos α) 

⇒ 
cot² α/2 = [p(p-a)] / [(p-b)(p-a)]

pappus

Merci Gipsyc

Mais ton identité est purement algébrique:

$$b.c=(b-p+p)(c-p+p)=(p-b)(p-c)+p^2+p(b+c-2p)=(p-b)(p-c)+p(b+c-p)=(p-b)(p-c)+p(p-a)$$

compte tenu du fait que:

$$2p=a+b+c$$ et donc:

$$p-a=b+c-p$$

On peut écrire cela les yeux fermés sans référence à la moindre figure sans même que $a$, $b$, $c$ soient les longueurs des côtés d'un triangle pourvu que:

$$2p=a+b+c$$

Amicalement

pappus.

PS

Je privilégie toujours les démonstrations évitant de parler de ces maudits angles dont plus personne en France ne connait véritablement la définition!

gipsyc

Merci pappus,

Comme je précisais dans mon introduction, ces formules sont très faciles à démontrer, la voie algébrique étant la plus simple.

Mais je suis tombé par hasard sur ces deux résultats qui ne me semblent pas intuitivement évidents, d'où ce partage avec la méthode que j'ai utilisée pour y arriver ... et avec quelques détails que je viens de rajouter, comme
• l'aire du triangle rectangle en A
  (avec son cercle inscrit, pourquoi pas)
     [ABC] = p(p-a) = (p-b) (p-b)

• cot²(α /2) = (1 + cos α) / (1 - cos α) = p(p-a) / [(p-b)(p-c)]
    (formule que j'avais déjà rencontrée)
dont l'utilité au quotidien est en effet discutable.

Jean-Pol Coulon 

Jean-Louis Ayme

Bonjour,
merci pour cette formule qui met en pièce celle de Brahmagupta...à réfléchir...

Sincèrement
Jean-Louis

gipsyc

Une autre démonstration, trigonométrique, de bc.

sin α/2 = √[(p-b)(p-c)/bc]

cos α/2 = √[p(p-a)/bc]

sin² α/2 + cos² α/2 = 1
⇒ 
bc = p(p-a) + (p-b)(p-c)

Jean-Pol Coulon

gipsyc

Bonjour
J'ai un peu potassé sur les formules de cette discussion .
Voici le résultat de mes gribouillis algébriques.
Qui sait, peut-être utiles un jour ...

Un petit exemple tout simple d'application : 
si α = 90°, p(p-a) = (p-b)(p-c) et donc
non seulement bc = 2p(p-a) comme trouvé un peu partout,
mais également bc = 2(p-b)(p-c).
J'ai également utilisé les formules données en introduction pour simplifier les formules de Spoke donnant les propriétés de la A-cévienne par le point de Gergonne.
Spoke
AGe² = a(-a + b + c)³  [(a(a +b+c) -2(b-c)²]
(a²  + b²  + c²  - 2ab - 2bc - 2ca)²
et en formulation simplifiée

Et si l'on poursuit les simplifications dans le triangle rectangle en A :

Cordialement,
Jean-Pol

jelobreuil

Merci Jean-Pol pour ce partage !

Bien amicalement, Jean-Louis B.

gipsyc

Autre aspect :

quelques rapports et moyennes algébriques donnant des propriétés trigonométriques de base.

Si, avec p = (a+b+c)/2, S = aire ABC
* u = a² - (b-c)²       (b-c ≤︎ a)
           = (a+b-c)(a-b+c)
           = 4(p-b)(p-c)
* v = (b+c)² - a²      (b+c ≥︎ a)
           = (a+b+c)(-a+b+c)
           = 4p(p-a)
[j'aurais pu utiliser u' = (p-b)(p-c) et v' = p(p-a) mais je voulais des formules en fonction de a, b et c]
alors
* Somme Σ
   Σ = u + v = [a² - (b-c)²] + [b+c)² - a²]
      = 4bc
      = (b+c)² - (b-c)²                                     (Legendre)
      = 4p(p-a) + 4(p-b)(p-c)

* Différence Δ
   Δ = u - v = [a² - (b-c)²] - [b+c)² - a²]
      = 2(a²-b²- c²)
      = 4p(p-a) - 4(p-b)(p-c)

* Produit Π = [a² - (b-c)²] · [b+c)² - a²]
   Π = uv
      = 2(a²b² + b²c² + a²c²) - (a⁴︎+b⁴︎+c⁴︎)
      = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
      = 16 p(p-a)(p-b)(p-c)
      = (4S)²

* Ratio Ρ
   Ρ = u/v = [a² - (b-c)²] / [b+c)² - a²]
      = [a² - (b-c)²] / [(b+c)² - a²]
      = p(p-a)/[(p-b)(p-c)]
      = tan² α/2
   1/P = v/u
      = cot² α/2

* Rapport Δ / Σ
   Δ/Σ = (u-v) / (u+v)
         = 2[(b² + c² - a²)]/4bc
         = (b² + c² - a²)/2bc
         = [p(p-a)-(p-b)(p-c)] / [p(p-a)+(p-b)(p-c)]
         = cos α                                                    (Al Kashi)

* Moyenne arithmétique Μ
   M = (u+v)/2
       = 2bc
       = 2p(p-a) + 2(p-b)(p-c)

* Moyenne géométrique Γ = √Π 
   Γ = √(uv)
      = √(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)                (Kahan)
      = 4√[p(p-a)(p-b)(p-c)]                                   (Hébron)
      = 4S

* Ratio Γ / Σ
   (toujours ≤︎ 1)
   Γ/Μ = √(uv) / [(u+v)/2]
     =√[(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)] /2bc
       = S/bc
       = sin α                                                           (sinus)

* Moyenne harmonique Η
   Η = 2uv/(u+v) = uv/[(u+v)/2] = Γ- Γ/Μ
      = Γ² /Μ
      = 8S² / bc
J'ai laissé la moyenne harmonique qui n'apporte rien de nouveau, et j'ai omis de citer la moyenne contre-harmonique, tout comme la moyenne de Hébron, qui me semblaient aboutir à rien d'exploitable.
Voilà
La question subsidiaire : est-il possible de porter sur un graphique (autre que le cercle trigonométrique) explicite le triangle avec les valeurs u et v (ou u' et v') ainsi que ces différents ratios et moyennes, tel celui ci-dessous

Cordialement,
Jean-Pol Coulon