Morphismes de groupe

[Utilisateur supprimé]

Bonjour, je penche là dessus, et je pense que la réponse est positive. De 1) à 6) c'est l'énoncé, la question est au 7).

1) Soit $L:=\{(+,fun,2),([opposit],fun,1),(0,fun,0),(=,rel,2)\}$ le langage des groupes.

2) Soit $t$ un terme de $L$.

3) Soit $\alpha \in \aleph _0$.

4) Soit $x$ une application injective de source $\alpha$ et de but l'ensemble des variables de $L$ telle que toute variable apparaissant dans $t$ appartient à l'image de $x$

5) Soit $(G,\iota)$ un groupe abélien.

6) Soit $f_{(t,x),(G,\iota) }:= m\in G^{\alpha} \mapsto \overline {(t,x)(m)} ^{(G,\iota)}$.

7) Question: $f_{(t,x),(G,\iota) }$ est-il un morphisme de groupes de source $(G,\iota)^{\alpha}$ et de but $(G,\iota)$ ?

Edit. Il faut imposer que $\alpha$ soit supérieur au cardinal de l'ensemble des variables apparaissant dans $t$.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Pourquoi faire simple quand on peut faire abscons ?

Oui, pour tout terme $t(x_1,\ldots,x_n)$ du langage de la théorie des groupes, il existe des entiers $a_1,\ldots a_n$ tels que pour tout groupe abélien $G$ et tous $g_1,\ldots,g_n$ de $G$, $t(g_1,\ldots,g_n)=a_1g_1+\cdots+a_ng_n$.

Martial

C'est marrant, quand c'est @GaBuZoMeu qui cause dans le poste c'est tout de suite limpide. Au moins, maintenant, on comprend la question posée...

[Utilisateur supprimé]

@GaBuZoMeu je viens de terminer ma démonstration du 7), j'ai utilisé le théorème d'induction sur un bien fondé qui convenait. Le résultat que tu me donnes, je vois comment le démontrer à partir du moment que j'ai répondu positivement au 7). Merci pour ton aide.

Je suis tombé sur ce problème lorsque je travaillais sur un autre problème, j'avais besoin que cette application soit un morphisme, mais je n'étais pas convaincu au début. 

GaBuZoMeu

Comme il te plaira. Et puisqu'il semble que tu aimes bien emberlificoter les choses ...

Ce que j'ai écrit se démontre de façon assez triviale par induction sur la construction des termes.

Math Coss

Quelle différence entre un terme et une formule ? Plus exactement, pourquoi est-ce qu'il ne peut pas y avoir d'égalité dans un terme ?

Médiat_Suprème

Une égalité, c'est une relation.

"Il suffit" de regarder les règles de formation des formules pour se faire une idée précise (définition des termes, des formules atomiques, des formules (bien formées)), cela se trouve aisément sur le net, si je retrouve ce que j'avais écrit sur le sujet, je le posterai ici

Médiat_Suprème

J'ai retrouvé : 
Un langage est la donnée d'un certain nombre de symboles :

1. Symboles de constantes
2. Symboles de variables
3. Symboles de fonctions
4. Symboles de relations

La logique du premier ordre est une logique dont les langages sont de type $\mathcal{L}_{\omega, \omega}$ ; cette notation signifie que l’on dispose de $\omega$ symboles de constantes (donc un nombre dénombrable), que l’on s’autorise les conjonctions (et donc les disjonctions) de longueur strictement inférieure à $\omega$ (donc finie), et les quantifications de longueur strictement inférieure à $\omega$ (donc finie).

Par exemple $\mathcal{L}$(0, 1, +, ., <) est un langage avec
2 symboles de constantes (0 et 1)
2 symboles de fonctions binaires (+ et .)
1 symbole de relation binaire (<)
C'est, par exemple le langage qui va permettre de définir les corps ordonnés.
Remarque 1 : je n'ai pas mis le symbole de l'égalité (=), celui-ci étant souvent sous-entendu et encore plus souvent seulement évoqué en parlant de langage égalitaire 
Remarque 2 : je n'ai pas mis les symboles de variables ; en général on ne précise rien, ou alors une précaution liminaire du genre "plus les symboles de variables dont nous aurons besoin par la suite".

La collection des termes d'un langage $\mathcal{L}$ est définie de la façon suivante :
Les variables de $\mathcal{L}$ sont des termes.
Les constantes de $\mathcal{L}$ sont des termes.
Si $t_1, t_2, ... t_n$ sont des termes, et, si $\mathcal{F}$ est une fonction n-aire (d'arité n, c'est-à-dire avec n variables), alors $\mathcal{F}(t_1, t_2, ... t_n)$ est un terme.

La collection des formules atomiques d'un langage $\mathcal{L}$ est définie de la façon suivante :

Si $t_1$ et $t_2$ sont des termes, alors $t_1 = t_2[$ est une formule atomique (puisque que nous ne considérons que des langages égalitaires).

Si $t_1, t_2, ... t_n$ sont des termes, et, si $\mathcal{R}$ est une relation n-aire (d'arité n), alors $\mathcal{R}(t_1, t_2, ... t_n)$ est une formule atomique.

La collection des formules d'un langage $\mathcal{L}$ est définie de la façon suivante :

Les formules atomiques sont des formules

Si $\phi$ est une formule, $\neg \phi$ est une formule

Si $\phi$ et $\psi$ sont des formules, $\phi \wedge \psi$ est une formule

Si $\phi$ est une formule et x une variable, $\forall x \phi$ est une formule

GaBuZoMeu

@Math Coss Par exemple, avec le langage évoqué par Mediat (langage des anneaux ordonnés), un terme est essentiellement un polynôme. Dans un polynôme, tu n'as pas d'égalité, un polynôme n'est pas une formule.

Avec les polynômes, tu peux faire des formules en utilisant les symboles de relation $=$, $\leq$ et en quantifiant.

Autre, aspect, je ne sais pas si ça te parlera plus : quand on interprète un langage dans une structure $M$, un terme à $n$ variables s'interprète comme une fonction définie sur $M^n$, une formule à $n$ variables libres comme une partie de $M^n$.

Math Coss

Merci pour vos explications.

[Utilisateur supprimé]

1) @Médiat_Suprème pourquoi tu veux que l'ensemble des symboles de fonction d'arité 0 soit dénombrable ?
2) sinon @Math Coss cette page (dans laquelle tu es présent) répond aussi à ta question : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2332421/formules-du-premier-ordre#latest
3) @GaBuZoMeu l'expression $t(x_1;...;x_n)$ est une notation très répandue en logique, mais elle est un abus, sans cet abus inutile, cela donnera plutôt  $(t,x)$ où $x$ est une application injective d'un ordinal fini vers l'ensemble des variables tel que l'image de $x$ comprends toute variable apparaissant dans $t$
4) l'expression $t(g_1;...;g_n)$ est un autre abus de langage très répandu, $(t,x)(g)$ est tout aussi simple à écrire et est plus rigoureux.
5) Je ne sais pas ce que signifie "emberlificoter" et "abscons".
Cordialement
Cohomologies Étale.

Rescassol

Bonjour,

> 5) Je ne sais pas ce que signifie "emberlificoter" et "abscons".

N'importe quel dictionnaire ou google te donnera les définitions de ces mots ordinaires.

Cordialement,
Rescassol

[Utilisateur supprimé]

Merci @Rescassol

Médiat_Suprème

Ce n'est pas moi qui veut, c'est la définition des langages $\mathcal L_{\omega, \omega}$