Espérance de variables aléatoires iid

lanchois

Bonjour,

quelqu'un aurait-il une indication pour calculer $E(\dfrac{X_1}{\sum_{i=1}^{n}X_i})$ où les $X_i$ sont des variables iid strictement positives.

Je pense que cette espérance est égale à $\dfrac{1}{n}$ mais je séche complet pour le démontrer.

Merci à vous

noobey

Hello ! Fais la somme de toutes ces v.a de 1 à n

lanchois

On ne connaît pas les $X_i$, on sait juste qu'elles sont >0 et iid

O.J

Ne manque-t-il pas des hypothèses évidentes ? Du type $E(X_1)<\infty$ et $E(X_1^{-1})<\infty$?
Sinon Noobey te propose au fond de regarde $E(S_m/S_n)$ pour $m\le n$ et $m\ge n$. Après c'est des lignes logiques qui se suivent sans inspiration.

JLapin

Pas besoin d'hypothèses supplémentaires : les variables aléatoires $Y_i=X_i/(X_1+...+X_n)$ sont bornées donc d'espérance finie.

Tu peux essayer de montrer que les $Y_i$ sont identiquement distribuées.

lanchois

Bonsoir, merci pour vos réponses.

j'ai cherché compliqué alors qu'au final c'est plutôt simple.

Merci encore.

O.J

Et si $m\ge n$?

Mais oui pour $Y_i$. Faire la somme donne le résultat comme le propose noobey après avoir vu ce que tu proposes c'est vrai !