Convergence presque sûre

el_douwen

Bonjour
je n'ai jamais ni enseigné ni étudié les convergences en loi ; j'apprends.
Il y a un point que je ne comprends pas.
sur une vidéo "statoscope" j'ai trouvé l'exemple suivant.

$X_n(\Omega)=\{0,n\}$ et $p(X_n=n)=\frac{1}{\sqrt(n)}$.

Je comprends sans souci pourquoi $X_n$ CV en probabilités vers la variable $X$ constante égale à zéro.

Pour la non-CV presque sûre l'auteure de la vidéo utilise un anti-Borel-Cantelli que je comprends aussi.

Mais j'aimerais visualiser cette non-CV presque sûre directement avec la définition.

Je m'intéresse donc à  la mesure (la probabilité) de $\{{X_n\rightarrow X}\}$.
Mais pour comprendre cet ensemble réciproque, je dois comprendre ce qu'est le triplet $\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}$.

Je m'imagine $\Omega$ comme l'ensemble {pile,face} du tirage d'une pièce non équilibrée. La tribu est l'ensemble trivial des sous-parties.
Mon souci est que $\mathbb{P}$ dépend de $n$ :
je dois regarder $\{\omega\in\Omega\mid X_n(\omega)\rightarrow 0\}$ donc je regarde

* $X_n(\mathrm{pile})=n$ diverge vers $+\infty$ donc pile n'est pas dans $\{{X_n\rightarrow X}\}$.

* $X_n(\mathrm{face})=0$ converge (constant) vers 0 donc face est dans $\{{X_n\rightarrow X}\}$.

donc $\{X_n\rightarrow X\}=\{\mathrm{face}\}$ mais alors la mesure de cet ensemble n'est pas fixe, c'est quelque chose de "dynamique" vu que $\mathbb{P}$ dépend de $n$ ?

Je sens bien qu'il y a quelque chose que je comprends mal.

JLapin

Il te faut un univers plus gros pour supporter l'existence d'autant de variables aléatoires $X_n$ vérifiant ces lois.

Par ailleurs, il n'y a pas besoin d'expliciter le triplet $(\Omega,\mathcal A,P)$ pour comprendre en profondeur pourquoi $\{X_n\to X\}$ est un événement. Il te suffit d'expliciter une écriture de l'ensemble des $w$ tel que $X_n(w)\to X(w)$ sous une forme permettant d'utiliser les axiomes de stabilité de la tribu des événements.

el_douwen

Salut je comprends comment exprimer pourquoi $\{X_n\rightarrow X\}$ est un événement avec des intersections et des unions.

Je comprends  théoriquement que c'est un événement.

Mais j'aimerais me figurer quand même  un exemple de $\Omega$ concret pour comprendre en profondeur, car là le fait est que je n'arrive pas à expliciter la  mesure de $\{X_n\rightarrow X\}$ dans l'exemple qui me préoccupe.

Je comprends l'idée de prendre un $\Omega$ plus gros, par exemple je pourrais prendre $\Omega=\mathbb{N}$ mais je ne vois pas ensuite quelle mesure est compatible avec tous les $X_n$.

Alors… du coup peut-être $\Omega=[0,1]$ muni de la mesure usuelle et $X_n=\chi_{[0,\frac{1}{\sqrt{n}}]}\times n$. Je pense que là je corresponds à l'énoncé.  Mais du coup, là, $\{X_n\rightarrow X\}$ est $]0,1]$ non ? Ça signifierait que j'ai la cv presque sûre ?

JLapin

L'anti Borel Cantelli dont tu parles ne nécessiterait-il pas des hypothèses d'indépendances ?

Ca expliquerait peut-être pourquoi tu sembles avoir mis en évidence un contre exemple à une propriété démontrée au préalable...

el_douwen

D'accord, merci de ton éclairage. Donc mes $X_n$ ne sont absolument pas indépendants, certes ; voilà pourquoi mon modèle semblait montrer la CV presque sûre alors qu'elle n'y est pas. Du coup je dois tout recommencer… Sueur, sueur…

Entre temps j'ai trouvé un autre exemple de CV en proba pas presque sûre et là, imaginer $\Omega$ et $\mathbb{P}$ est facile et $\{X_n\rightarrow X\}$, si je ne me trompe pas, est vide… https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/458034

el_douwen

Bon j'ai trouvé une piste, je n'avais pas fait le lien avec la tribu-produit.

Donc je suis sur $[0,1]^\mathbb{N}$ et $X_n$ est la composée de $\chi_{[0,1/\sqrt{n}]}$ par $n$ et par la $n$-ième application partielle.

J'ai alors $\{X_n\rightarrow  X\}$ dans quelque chose comme l'union en $n$ de $[0,1]\times[0,1]\times\cdots\times[0,1]$ croix le produit pour $k\geq n$ des $[0,1/\sqrt{n}]$ et il me semble que c'est de mesure 1 malheureusement mais j'ai dû louper un petit truc. J'ai l'intuition que le fait que $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ DV a à voir avec le produit des $1-1/\sqrt{n}$ : je pense que je vais arriver à finir tout seul.

el_douwen

Si  cela intéresse qqn (ce soir la connexion sur le forum semble ok…)

j'ai rédigé au propre

et j'ai mon $\Omega$ bien net et bien défini…