Cône enveloppe

P.2

Soit $E$ et $F$ deux espaces euclidiens avec $\dim E<\dim F.$ Soit $u\mapsto (q_1(u), q_2(u))$ une application quadratique de $E$ vers $F^2$, et soit $P(u)$ le plan engendré par les deux vecteurs de $F$ que sont $q_1(u)$ et $q_2(u).$ Je cherche à me représenter le cône enveloppe des $(P(u))_{u\in E}$. En fait, je ne sais pas très bien comment le calculer, le caractériser. Est-ce une quadrique ? Pas sûr. Ce sous-forum est peu fréquenté, mais il doit rester des géomètres qui s'occupent de ces choses.

john_john

Qu'entends-tu par cône enveloppe ? Il me semble que l'ensemble que tu définis est déjà un cône (càd stable par les homothéties de rapport positif). Cela mis à part, la question de savoir si cet ensemble est quadratique est intéressante.

john_john

En tout cas, cela n'a pas une tête de quadrique : dans le cas de $(t,u)\mapsto(t^2+u^2,2tu)$, l'image est le quadrant d'inéquations $X\geqslant0, |Y|\leqslant X$.
En toute généralité, on doit trouver un cône semi-algébrique.

P.2

Merci john_john. Remarque, ton exemple ne satisfait pas à $\dim E<\dim F.$ J'ai en fait un exemple assez compliqué $E$ les matrices symétriques $(n,n)$, $F$ les endomorphismes symétriques de $E$  et  $q_1(u)$ défini par $v\mapsto uvu$ et $q_2(u)$ défini par $v\mapsto u \ trace(uv)$. L'ensemble des plans $P(u)$ a plein de propriétés remarquables que j'aurais aimé embrasser comme l'ensemble des plans tangents à quelque chose d’intéressant...

(je ne sais pas pourquoi le latex ne veut pas compiler ce soir)

john_john

Dans ma recherche d'exemples, j'avais oublié l'hypothèse sur les dimensions (cela écrase moins les surfaces) ! Cela étant, tu aurais plus de chances d'avoir des réponses en demandant que ton fil soit déplacé en Algèbre, où rôde un spécialiste mondial (voire plusieurs).

P.2

Merci de ce commentaire john_john. Mais à quoi servirait ce sous forum si un problème d'enveloppe est redirigé ? On le déplacera si rien ne bouge.

J'ai réflechi ainsi : cela se ramène à un problème d'enveloppe de droites. On normalise les deux vecteurs $q_1(u)$ et $q_2(u)$ en supposant par exemple $\|u\|^2=1.$ De façon équivalente, je considère  la droite contenue dans $F$ suivante $$D(u)=\{\lambda \frac{q_1(u)}{\|u\|^2}+(1-\lambda )\frac{q_2(u)}{\|u|^2}\mid \lambda\in \R\},$$ et je me demande comment décrire  la courbe enveloppe des $D(u)$ quand $u$ décrit l'espace euclidien $E.$

'Enveloppe de droites' était une leçon d’agrégation qui ne m'a pas laissé un excellent souvenir. À vrai dire je ne sais pas comment m'y prendre, ayant tout oublié.

john_john

Bonssoir, P.2,
je ne sais pas si une notion générale d'enveloppe de droites peut prospérer : même en dimension $3$, cela n'a un sens que sous condition (la raison intuitive est que deux droites, même infiniment proches, n'ont pas en général de point d'intersection ; si $D(t)$ passe par $M(t)$ et est dirigée par $u(t)$, il y aura une enveloppe si, en tout point, $(M'(t),u(t),u'(t))$ est liée).

P.2

Intéressant. Comment donc mettre de l'ordre dans un certain paquet de droites dans un espace euclidien, une bonne structure au lieu d'un buisson de bâtons de Mikado. Je crois que je vais être moins ambitieux et retravailler mon exemple. Merci john_john.