FLTI du nouvel an

pappus

Bonjour à tous

En faisant des recherches pour retrouver mes vieilles animations, j'ai exhumé cette vieille figure sur mes chers TGV âgée de plus de vingt ans.

Je vais traduire mon commentaire en un langage plus moderne tel qu'on pourrait le trouver dans le glossaire de pldx1 dans son chapitre consacré aux Linear Families of Inscribed Triangles

La figure ci dessous montre une $FLTI$ dont le centre aréolaire est $S$ et l'équicentre $E$.

Les trois correspondances affines entre les côtés du triangle $ABC$ sont induites par des similitudes dont les centres sont respectivement $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.

Plus précisément $\alpha$ est le centre de la similitude induisant la correspondance affine entre les côtés $AB$ et $AC$, etc...par permutation circulaire.

Le triangle $\alpha\beta\gamma$ s'appelle le triangle de similitude et le cercle $\alpha\beta\gamma$ le cercle de similitude.

Les droites $A\alpha$, $B\beta$, $C\gamma$ sont concourantes au point $S_*$ isogonal de $S$ dans le triangle $ABC$, point $S_*$ situé sur le cercle de similitude.

Soit $f$ la transformation circulaire directe $ABC\mapsto \alpha\beta\gamma$.

Le point limite objet ou pôle de $f$ est le centre aréolaire $S$, $f(S)=\infty$.

Le point limite image est l'équicentre $E$, $f(\infty)=E$.

Les points fixes de $f$ sont les foyers de la conique pilier, la conique inscrite, tracée en rouge, dont le centre $\Omega$ est le milieu du segment $SE$.

J'ai tracé un triangle $abc$ de  points homologues dans ces correspondances ainsi que la conique temporelle circonscrite, ici une hyperbole bitangente à la conique pilier.

On sait que ces coniques temporelles ont toutes les mêmes points à l'infini dont les isogonaux $V$ et $V'$ se trouvent sur le cercle circonscrit au triangle $ABC$.

Soient $U$ et $U'$ les points d'intersection des cercles $(ABC)$ et $(\alpha\beta\gamma$, alors les droites $UV$ et $U'V'$ se coupent au point $S_*$.

Amicalement

pappus

pldx1

Bonjour, et bonne année. $\def\pilcon{\mathfrak{C}} \def\etc{,\:\mathrm{etc}} \def\slov{\mathcal{S}} \def\cir#1{\mathcal{C}_{#1}} \def\pilcon{\mathfrak{C}} \def\tra#1{{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}} \def\trim#1{\boxed{\mathcal{T}_{#1}}} \def\tmpom#1#2{\boxed{\mathcal{C}_{#1}^{#2}}} \def\equi{\mathcal{E}} \def\ptv{~;~} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}}$

Les trois cercles $\left(C,a_{t},b_{t}\right)\etc$ concourent en un point $M_{t}$, appelé point de Miquel. Ces points viennent se placer sur le cercle de similitude (i.e. le cercle qui passe par $O_{a},O_{b},O_{c}$) et l'on a $M_{\infty}=\slov^{*}$. Lorsque les points $a_{\vartheta},b_{\vartheta},c_{\vartheta}$ sont alignés sur une droite $\Delta_{\vartheta}$, ces trois cercles sont trois des quatre cercles de Miquel du quadrilatère $ABC,\Delta_{\vartheta}$. Et alors $M_{\vartheta}$ est sur le circonscrit à $ABC$.

Passons au barnum temporel. On définit le point $L_{a}\left(s,t\right)$ par (syntaxe geogebra)

L_a = Intersect[Line[c_t, Line[c_s, a_s]], Line[b_t, Line[b_s, a_s]]]

Alors le lieu de $L_{a}$ lorsque $t$ varie est une droite (la deuxième tangente à la conique pillier $\pilcon$ issue de $a_{s}$), tandis que le lieu de $L_{a}$ lorsque $s$ varie est la conique temporelle $\cir t$ (circonscrite à $a_{t}b_{t}c_{t}$ et bi-tangente à la conique pilier $\pilcon$). Chacune de ces coniques $\cir t$ vérifie  \[ \tmpom{}H\doteq\tra{\trim t}\cdot\tmpom t{}\cdot\trim t\simeq\left(\begin{array}{ccc} 0 & h\tau & g\sigma\\ h\tau & 0 & f\rho\\ g\sigma & f\rho & 0 \end{array}\right) \] et il est facile d'en déduire que toutes ces coniques ont les mêmes points à l'infini... tant que $\det\trim{}\neq0$.

On est donc amené à définir les deux coniques $\cir{\vartheta}$ par passage à la limite lorsque $t\mapsto\vartheta$ et $\cir{\vartheta}$ est alors la réunion de $\Delta_{\vartheta}$ (tangente à $\pilcon$ passant par $\equi$) et de l'autre tangente passant par $\slov$.

Pour ce qui est de l'homographie de Miquel, la matrice de sa projection sur la sphère supérieure $\left(\vz,\vt\right)$ est: \begin{multline*} \boxed{\sigma}=\left(\begin{array}{rc} z_{\equi} & \sigma_{3}\,\overline{z_{\slov}+z_{\equi}-z_{H}}\\ 1 & -z_{\slov} \end{array}\right)\ptv\boxed{\sigma^{-1}}=\left(\begin{array}{rc} z_{\slov} & \sigma_{3}\,\overline{z_{\slov}+z_{\equi}-z_{H}}\\ 1 & -z_{\equi} \end{array}\right)\\ \mathrm{where}\:z_{\equi}=\dfrac{u\alpha+v\beta+w\gamma}{u+v+w},\,z_{\slov}=\frac{f\alpha+g\beta+h\gamma}{f+g+h},\,z_{H}=\sigma_{1} \end{multline*} et donc l'équation aux points fixes est: \[ \dfrac{\tau}{\vz-\vt\gamma}+\dfrac{\sigma}{\vz-\vt\beta}+\dfrac{\rho}{\vz-\vt\alpha}=0 \] où l'on voit qu'il y a effectivement quatre points fixes.  

Cordialement, Pierre.