Corrigé de l'agreg interne 2016

gimax

Bonjour

Je cherche le corrigé du sujet de la première épreuve de l'agreg interne 2016. Est-ce que par hasard quelqu'un aurait ça sous la main ?

Bonne année à tous

Gimax

Math Coss

En voici un et un autre, trouvés sans peine sur http://concours-maths-cpge.fr/.

gimax

Merci Math Coss. Je n'aurais pas pensé à chercher sur un site de cpge. Je garde ça en tête pour l'avenir.

OShine

Ils sont magnifiques les corrigés d'Olivier Halgand. J'ai parcouru de loin, rarement vu des corrigés aussi bien rédigés et jolis à voir. 

Audeo

Par contre, la solution de 11.(b) proposée me semble nettement meilleure dans l'autre corrigé. J'avais bien aimé ce sujet et l'avais cherché. Je recopie ici ma solution pour cette question, sans récurrence, si cela peut intéresser quelqu'un.

Soit $k\in\N$. Soit $A=\{(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\N^n\mid\alpha_1+\cdots+\alpha_n\leqslant k\}.$ Il s'agit de montrer la liberté de la famille $(x^\alpha)_{\alpha\in A}$ où, pour tout $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in A$, $$\begin{aligned} x^\alpha\colon \{(x_1,\dots,x_n)\in\R^n\mid x_1^2+\cdots+x_n^2\leqslant 1\} &\to \R \\ (x_1,\dots,x_n) &\mapsto x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}\end{aligned}.$$ Soit $(\lambda_\alpha)_{\alpha\in A}\subset\R$. Supposons que $f:=\sum_{\alpha\in A}\lambda_\alpha x^\alpha=0$. Pour tout $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in A$, on note $Q_\alpha$ le polynôme $\sum_{i=1}^n\alpha_iX^{i-1}$ et l'on fixe un entier $N$ suffisamment grand de sorte que : $$\forall (\alpha,\alpha')\in A^2, \quad \alpha\neq\alpha'\implies Q_\alpha(N)\neq Q_{\alpha'}(N).$$ Pour tout réel $t\in[0,1/n]$, pour tout entier $i\in[1,n]$, si $x_i=t^{N^{i-1}}$ alors $$x_1^2+\cdots+x_n^2\leqslant 1 \quad \text{et} \quad  f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{\alpha\in A}\lambda_\alpha t^{Q_\alpha(N)}.$$ Il s'ensuit que le polynôme $P:=\sum_{\alpha\in A}\lambda_\alpha X^{Q_\alpha(N)}$ est nul, d'où $\lambda_\alpha=0$ pour tout $\alpha\in A$.