Lemme de non-rétraction de la boule unité de Rn sur la sphère unité

LoloDJ

En guise de préparation au théorème du point fixe de Brouwer, je dispose de ce lemme de non rétraction, dont voici le début de la démonstration, mais certains points sont obscurs pour moi :

- Pourquoi la continuité uniforme permet-elle de trouver r tel que si norme de x est supérieur à r, alors norme de x moins phi de x est inférieur ou égal à epsilon ?

- Deuxièmement, dans l'Etape 2, que signifie ce norme infinie de Dphi ? : Qu'est-ce que Dphi ? La matrice jacobienne ?

Manda

Par continuité uniforme, il existe $0<r<1$ tel que si $\|x-y\|<1-r$, avec $x,y\in B^n$, alors $\|\phi(x)-\phi(y)\|<\epsilon$. Si maintenant si $x\in B_n$ vérifie $\|x\|>r$, alors $\|x-\frac{x}{\|x\|}\|=(1/\|x\|-1)\|x\|=1-\|x\|<1-r$, d'où :
\[\|x-\phi(x)\|\leq\|x-\frac{x}{\|x\|}\|+\|\frac{x}{\|x\|}-\phi(x)\|=1-\|x\|+\|\phi(\frac{x}{\|x\|})-\phi(x)\|<1-r+\epsilon,\]
où j'ai utilisé le fait que $\phi$ vaut l'identité sur la sphère unité. Comme j'aurais pu supposer de plus que $1-r<\epsilon$, cela permet bien de conclure. Pour ta deuxième question, sûrement que $\|D\phi\|_\infty=\sup_{x\in B_n}\|D\phi(x)\|$, où $\|\|$ désigne une certaine norme sur l'espace des matrices $n\times n$ (comme elles sont toutes équivalentes le choix de la norme ne doit pas avoir d'importance).

Georges Abitbol

Pour le premier point, en effet, je ne comprends pas trop la justification. Je dirais plutôt que pour tout $\epsilon$, l’ensemble des $x$ tels que $\Vert x - \phi(x) \Vert < \epsilon$ est ouvert, contient la sphère, et donc, par compacité de celle-ci, un petit épaississement, ce qui donne le truc annoncé. Veux-tu plus de détails ?

Pour le deuxième point, $D\phi$ est l’application qui à tout $x$ associe $D_x \phi$, qui est sans doute la matrice jacobienne de $\phi$ en $x$.

Barry

De quel livre vient cette page que tu as photographiée ?

LoloDJ

Merci Manda et Georges, vos explications me vont

Barry, le livre dont cette page provient s'appelle "L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques" et il est de Xavier Charvet.

Poirot

Pas certain que ce genre de résultat fasse partie de "l'essentiel" du programme de l'agreg...

LoloDJ

Voici la suite de la démonstration, qui me pose d'autres difficultés :

- Dans le 2. en quoi cela démontre-t-il que Dphit(x) est inversible ?

- Dans le 3. Pourquoi l'image de Bn par Phit est-elle Bn ? Pourquoi peut-on en conclure que Phit est surjective ?

- Dans l'étape 3, en quoi le fait que Sn-1 soit une sous-variété de Rn de dimension n-1, implique-t-il que le rang de DPhi est nécessairement inférieur ou égal à n-1 ?

raoul.S

Pour la 2 il utilise le résultat suivant : si $A$ est un endomorphisme de $E$ ($E$ de Banach) et que $\|A\|<1$ alors $Id+A$ est inversible d'inverse $Id-A+A^2-A^3+...$. Ça découle du fait que $Id-(-1)^n A^n=(Id+A)\cdot \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k A^k$ et du fait que la suite des sommes partielles $n\mapsto \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k A^k$ est de Cauchy et donc converge.

raoul.S

Je reviens pour la 3. En fait il est difficile de donner plus de détails car c'est déjà bien expliqué...

Il faut se rappeler que $\phi_t$ est une application qui va de $B^n$ dans $B^n$. L'auteur a montré que $\phi_t(B^n)$ est ouvert et fermé dans $B^n$. Vu que $B^n$ est connexe, les seules parties ouvertes et fermées sont $\emptyset$ et $B^n$ lui-même. Donc  $\phi_t(B^n)$ est égal à $\emptyset$ ou à $B^n$. Mais il ne peut pas être égal à $\emptyset$ (bon là si je dois expliquer pourquoi, on est mal barré... ) donc $\phi_t(B^n)$ est égal à $B^n$.

Ensuite si tu ne vois pas pourquoi $\phi_t(B^n)=B^n$ signifie que $\phi_t$ est surjective... ben relis la définition de "surjective" car c'est évident.  

LoloDJ

Merci Raoul.S, je crois que je comprends mieux : pour la 2, faut quand même avouer que c'était un peu sioux de conclure aussi vite à l'inversibilité de DPhit(x). Pour la 3, j'ai buggé sur la surjectivité de Phit mais maintenant ça va.
Dans l'étape 3, comment explique-t-on que le fait que Sn-1 soit une sous-variété de Rn de dimension n-1 implique que le rang de DPhi est inférieur ou égal à n-1 ? Est-ce que c'est le théorème du rang appliqué à DPhi ? Mais Sn-1 est l'image de Phi, pas de Dphi et Phi n'est pas une application linéaire, c'est DPhi qui l'est. Enfin bref, j'arrive pas à voir le truc, ça ne doit pas être bien compliqué, mais je ne vois pas.

Poirot

La différentielle est une application linéaire qui envoie espace tangent sur espace tangent. L'espace tangent de $S^{n-1}$ est un espace vectoriel de dimension $n-1$, donc la différentielle a un rang d'au plus $n-1$.

LoloDJ

Merci mais je pense qu'il me manque des notions de géométrie différentielle.... 

LoloDJ

Si je puis me permettre malgré tout une demande de clarification : comment sait-on que la différentielle envoie espace tangent sur espace tangent ?
Et d'autre part si une application linéaire envoie un espace de dimension n-1 sur un espace de dimension n-1, rien ne dit que par ailleurs elle n'envoie pas un autre espace, supplémentaire du premier, de dimension 1 sur un espace de dimension 1, donc dans ce cas, elle est de rang n... non ?
Mais bon les notions de variété, sous variété, espace tangent, sont neuves pour moi, donc c'est peut-être cela qui me manque.

raoul.S

@LoloDJ si tu ne maîtrise pas ces notions tu peux utiliser la remarque faite entre parenthèse par l'auteur :  $\forall x\in B^n, \|\phi(x)\|^2=1$. Cette remarque permet de montrer d'une autre façon que $D\phi(x)$ est de rang $\leq n-1$. En effet si pour tout $x\in B^n$, $\|\phi(x)\|^2=<\phi(x),\phi(x)>=1$ alors en dérivant par rapport à $x$ on obtient que la forme linéaire : $h\in \R^n \mapsto <D\phi(x)\cdot h,\phi(x)>$ est nulle. Ceci veut dire que $Im(D\phi(x))\perp \phi(x)$ et donc $\dim(Im(D\phi(x)))\leq n-1$ d'où $\det(D\phi(x))=0$.  

Barry

Merci LoloDj !

Barjovrille

Bonjour @LoloDJ , l'histoire de différentielle qui envoie espace tangent sur espace tangent c'est dans la définition des différentielle sur les variétés.
Pour ta deuxième question tu sais que $\phi : B_n \mapsto S_{n-1}$. Si t'oublies  la géométrie différentielle en  considérant simplement une application linéaire de $ u : E \mapsto F$ avec $\dim(F)= n-1$. Tu vois que $Im(u) \subset F$ donc tu peux déduire que $\dim(Im(u)) \leq n-1$.
Maintenant dans ton cas soit $x \in B_n$ alors $D\phi(x) : T_xB_n \mapsto T_{\phi(x)}S_{n-1}$ (où $T_xM$ est l'espace tangent au point $x$  de la variété $M$). D'après le message de Poirot $T_{\phi(x)}S_{n-1}$ est un espace vectoriel de dimension $n-1$ et $D\phi(x)$ est bien une application linéaire donc tu retrouves mon exemple avec $u$.

ps : dans ta démo il parle du rang de $D\phi$ mais c'est un "raccourci" pour être rigoureux il faut parler plutôt du rang de la différentielle appliqué en un point que tu peux voir aussi dans le message de raoul.

LoloDJ

Merci Barjovrille, je crois que je commence à comprendre.

Mais je reviens en arrière dans cette démonstration et il y a une autre chose qui tout à coup me semble obscure : c'est dans l'Etape 1, quand l'auteur affirme "On vérifie alors facilement que norme infinie de (fm-Phi) est plus petit que norme infinie de (Pm - Phi) + epsilon + 2 normes de r puissance n"
Passons sur le fait que r étant un réel, (norme de r) puissance n doit être une coquille...
En faisant une disjonction de cas selon que norme de x est plus grand ou plus petit que r, je vois que quand il est plus grand, norme de (fm-Phi) est plus petit que norme de (Pm-Phi) + epsilon, c'est assez facile.
Mais quand norme de x est plus petit que r, comment fait-on ?

LoloDJ

Je reviens sur ce que j'ai dit, je pense que si norme de x est plus petit que r, alors l'auteur majore norme de x-phi(x) par 2, tout bêtement.

mais alors après comment justifier bien proprement que les fm convergent uniformément vers Phi ? Le terme 2r à la puissance m est gênant, comment le rendre aussi petit qu'on veut ?

LoloDJ

ah mais si c'est bon, quel âne je suis, c'est un nombre plus petit que 1, élevé à la puissance m donc il tend bien gentiment vers 0.
Pardon.