Tribu et applications mesurables
Bonjour
J'ai quelques soucis avec la théorie de la mesure et en particulier avec l'exercice suivant où je suis bloqué dès la première question.
J'ai quelques soucis avec la théorie de la mesure et en particulier avec l'exercice suivant où je suis bloqué dès la première question.
Soient $f:(\Omega_1, \mathcal{F}_1) \to (\Omega_2, \mathcal{F}_2)$ une application. On suppose $\mathcal{F}_2=\sigma(\mathcal{C})$ pour une certaine famille $\mathcal{C} \subset P(\Omega_2)$. De plus, et pour tout $C \in \mathcal{C}$ on a $f^{-1}(C) \in \mathcal{F}_1$.
1) Montrer que la famille $\mathcal{T} := \{B \subset \Omega_2 : f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})) \} $ est une tribu sur $\Omega_2$
2) Montrer que $\mathcal{F}_2 \subset \mathcal{T}$
3) Montrer $\sigma(f) \subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C}))$
4) En déduire que f est mesurable entre les espaces $(\Omega_1, \mathcal{F}_1) $ et $ (\Omega_2, \mathcal{F}_2)$.
5) Montrer qu'une fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ croissante est borélienne. On pourra considérer la famille $\mathcal{C}:= \{]-\infty, a] : a \in \mathbb{R} \}$
1) Montrer que la famille $\mathcal{T} := \{B \subset \Omega_2 : f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C})) \} $ est une tribu sur $\Omega_2$
2) Montrer que $\mathcal{F}_2 \subset \mathcal{T}$
3) Montrer $\sigma(f) \subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C}))$
4) En déduire que f est mesurable entre les espaces $(\Omega_1, \mathcal{F}_1) $ et $ (\Omega_2, \mathcal{F}_2)$.
5) Montrer qu'une fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ croissante est borélienne. On pourra considérer la famille $\mathcal{C}:= \{]-\infty, a] : a \in \mathbb{R} \}$
Ce que j'ai tenté.
1) Si j'ai à peu près compris, je dois montrer que $\Omega_2 \in \mathcal{T}$, qu'il est stable par l'union et le complémentaire, mais là j'avoue ne pas savoir par quel bout prendre $\mathcal{T}$
Pour les autres questions c'est la panne sèche complète...
Merci pour votre aide.
1) Si j'ai à peu près compris, je dois montrer que $\Omega_2 \in \mathcal{T}$, qu'il est stable par l'union et le complémentaire, mais là j'avoue ne pas savoir par quel bout prendre $\mathcal{T}$
Pour les autres questions c'est la panne sèche complète...
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Réponses
a) $\Omega_2 \in \mathcal{T}$. C'est-à-dire que $f^{-1}(\Omega_2)\in \sigma(f^{-1} (\mathcal{C}))$ ce qui devrait être immédiat car $\sigma(f^{-1} (\mathcal{C}))$ est une tribu...
b) Si $B\in \mathcal{T}$ alors $\Omega_2\setminus B\in \mathcal{T}$. Ici il faut juste utiliser le fait que l'image réciproque du complémentaire est égale au complémentaire de l'image réciproque.
c) Si $(B_n)_{\N}$ est une famille dénombrable d'éléments de $\mathcal{T}$ alors $\bigcup_n B_n\in \mathcal{T}$.
$A\subset B$ signifie que tous les éléments de $A$ appartiennent à $B$
Est ce correct ?
On en conclut que
$\{f^{-1}(B) : B \in \mathcal{F}_2\} \subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C}))$ soit $\sigma(f)\subset \sigma(f^{-1}(\mathcal{C}))$.