Deux suites de trois items

Alain24

Trouver une relation simple entre ces deux suites :

$2$, $3$, $337$

$7$, $17$, $17$

Ne répondez pas tous en même temps.

Médiat_Suprème

Avec la fonction beta de Gödel, on doit pouvoir trouver une infinité de réponses.

Alain24

Exact, mais  je veux quelque chose de plus naturel. Plutôt que répondre à comment résoudre cherchez à répondre à pourquoi résoudre?

gerard0

Aucune raison de répondre à une question sans intérêt. 

Cidrolin

Ensuite on factorise 2035

i.zitoussi

Ma numérologue vient de m'apprendre que 2023 serait l'année des Sept Disettes$^2$. Bah voyons. Il ne manquait plus que ça...

${}^2$ Op. Cit.

Math Coss

J'aurais bien vu pour suite :

2 2 2 11 23

Julia Paule

Bah 2 3 337 c'est bientôt fini ...

etanche

Pour 7,17,17 https://oeis.org/search?q=7%2C17%2C17+&sort=&language=english&go=Search

depasse

Bonne année à tous, plus particulièrement à ceux par qui ce site perdure.
l'Avent hier, l'Apprêt demain.
Cordialement
Paul

lourrran

2023 -->
2+0+2+3=7
2²+0²+2²+3²=17
2²+0²+2²+3²=17
7*17*17=2023

2023 est le plus petit entier  (hormis 1) qui vérifie cette propriété : 
s est la somme de ses chiffres, et t la somme des carrés de ses chiffres, et n= s*t*t

JLT

Après il faudra attendre 2400.

Math Coss

Je n'aurai pas cette patience. Par ailleurs le suivant est $52\,215$.

Cela aurait été plus joli avec $stu$, où $u$ est la somme des cubes des chiffres mais il n'existe pas de tel nombre à quatre (ou même cinq ou six) chiffres.

Alain24

Une solution : observez la date de publication.

Bonne année 2023!

Alain24

Je donne ma solution : $2\times 3\times 337$ est la décomposition de $2022$ en produit de nombres premiers et $7\times 17\times 17$

celle de $2023$

Celles et ceux qui auront répondu, étant donné une suite de $3$ entiers il existe une infinité de relations qui la vérifient auront un bon point et mes respects.

Pourquoi ce "problème" ? à une époque ce type de méthode pseudo-scientifique a été utilisée pour recruter des cadres d'entreprise, ce qui est aussi loufoque que faire leur thème astral : ne rigolez pas car vous ne savez pas si cela se pratique encore en 2023!

uvdose

Math Coss a dit :

Je n'aurai pas cette patience. Par ailleurs le suivant est $52\,215$.

 Il est facile de vérifier qu'un tel entier possède au plus 8 chiffres. Voici la liste exhaustive des entiers en question : $0, 1, 2023, 2400, 52215, 615627, 938600, 1648656$.

uvdose

Math Coss a dit :

Cela aurait été plus joli avec $stu$, où $u$ est la somme des cubes des chiffres mais il n'existe pas de tel nombre à quatre (ou même cinq ou six) chiffres.

En revanche on peut en trouver avec 7 chiffres (mais pas avec 8) : $3163617, 3822147$.

Al-Kashi

Bonjour, 

Le nombre $2023$ vérifie une belle propriété
$2023=7^1.17^2$ 
$2^1+0^1+2^1+3^1=7$
$2^2+0^2+2^2+3^2=17$

Existe-t-il beaucoup de nombres qui vérifient cette drôle de propriété... 

Al-Kashi 

john_john

Pour un entier naturel, $n$ , le produit que tu as formé est majoré par $9^5(1+{\rm log}\,n)^3$ (logarithme décimal) qui est un ${\rm o}(n)$ ; il y a donc un nombre fini de possibilités !

Al-Kashi

Oups, Lourran l'avait déjà remarqué le 2 janvier  j'ai un train de retard 

john_john

Idem pour moi : j'ai répondu au fil ouvert par Al Kashi sans savoir que la question était réglée depuis un bout de temps. Demain, dirait-on, on ne parlera même pas de retard de trains 

Al-Kashi

Bonsoir, 

En relisant le post de Lourran, je viens de me rendre compte que mon problème n'est finalement pas exactement le même. Dans mon fil initialement ouvert, je sous entend la décomposition en facteurs premiers ordonnés selon les exposants croissants. 

Hormis les nombres $2,3,5,$ et $7$ qui vérifient aussi la propriété, en voyez-vous d'autres ?

Al-Kashi 

Math Coss

D'après la majoration de @john_john, il suffit d'aller jusqu'à $37\,169\,164$, quelques minutes de patience devraient suffire.

En me trompant dans la programmation, je constate les décompositions en facteurs premiers \begin{align*}133&=(1+3+3)\times(1^2+3^2+3^2)\\803&=(8+0+3)\times(8^2+0^2+3^2).\end{align*}Quant au problème initial, il n'a pas d'autre solution que $2023$, d'après la majoration ci-dessus et un test exhaustif en dessous.

sage: def T(n):
....:     c = ZZ(n).digits()
....:     d = add(c), add(map(lambda u: u^2,c))
....:     if all(is_prime(D) for D in d) and d[0]*d[1]^2==n:
....:         return True
....:     return False
....: 
sage: [n for n in range(1,3000) if T(n)]
[2023]
sage: [n for n in range(1,38000000) if T(n)]
[2023]

PS : Apparemment, pas de solution avant au moins cent millions pour le problème analogue pour $n=d_1d_2^2d_3^3$, où $d_i$ est la somme des puissances $i$-èmes des chiffres de $n$.

Al-Kashi

Bonjour Math Coss, 

Merci pour la partie informatique. Je viens de me mettre à Sage il n'y a pas longtemps et je suis encore un novice ! Par contre, si je comprends bien ton programme, il y aura peut-être certaines valeurs qui risquent d'échapper au test. Par exemple, pour un nombre qui s'écrit $n=pq^3$, il n'y a aucune contrainte sur la somme des carrés: $p$ doit être égal à la somme des chiffres et $q$ à la somme de leurs cubes. 

Al-Kashi