48+1=7^2 et 48/2+1=5^2
dans Arithmétique
Bonjour, un problème vu dans un livre : 48+1=7^2 et 48/2+1=5^2
il s'agit du plus petit nombre qui si on lui ajoute 1 est un carré et si on le coupe en deux et qu'on lui ajoute 1, c'est aussi un carré. La question est : quel est le deuxième plus petit nombre vérifiant cette propriété. Par test, on obtient 1680 -> 1681=41^2 et 841=29^2
Quelqu'un aurait une méthode pour résoudre ce problème autrement que par test, est-il possible de trouver un moyen de générer toutes les solutions par une formule ? Ainsi, je pourrais rapidement obtenir la 15ème plus petite valeur par exemple.
L'équation étant n+1=k^2 et n/2+1=q^2, par différence ça implique n/2=k^2-q^2 -> n=2(k-q)(k+q) ; à suivre...
autres relation : n=(k-1)(k+1)
autres relation : k^2=2q^2-1
Bien à tous.
il s'agit du plus petit nombre qui si on lui ajoute 1 est un carré et si on le coupe en deux et qu'on lui ajoute 1, c'est aussi un carré. La question est : quel est le deuxième plus petit nombre vérifiant cette propriété. Par test, on obtient 1680 -> 1681=41^2 et 841=29^2
Quelqu'un aurait une méthode pour résoudre ce problème autrement que par test, est-il possible de trouver un moyen de générer toutes les solutions par une formule ? Ainsi, je pourrais rapidement obtenir la 15ème plus petite valeur par exemple.
L'équation étant n+1=k^2 et n/2+1=q^2, par différence ça implique n/2=k^2-q^2 -> n=2(k-q)(k+q) ; à suivre...
autres relation : n=(k-1)(k+1)
autres relation : k^2=2q^2-1
Bien à tous.
Réponses
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Bonsoir,
Il suffit de savoir résoudre $x^2-2y^2=-1$ en nombres entiers.
Cherche Pell-Fermat dans ton navigateur favori.
Cordialement,
Rescassol
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"Bonjour, un problème vu dans un livre : 48+1=7^2 et 48/2+1=5^2
il s'agit du plus petit nombre qui si on lui ajoute 1 est un carré et si on le coupe en deux et qu'on lui ajoute 1, c'est aussi un carré"$0+1=1^2$ et $0/2+1=1^2$Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement. -
@zeitnot : j'ai mal formulé, je l'ai fait à la va-vite. Au temps pour moi, j'aurai dû préciser $n \in \mathbb{N}^*$
@rescassol : merci pour le tuyau, je vais jeter un œil.
@cidrolin : merci pour ce site que j'avais complètement oublié.
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Bonjour!
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