Morphisme de groupes, isomorphisme
Bonjour,
1) Montrer que l'application $f : \Z^2 \longrightarrow \Z$ définie par $f(x,y)=3x+6y$ est un morphisme de groupes.
Soit $(x,y) \in \Z^2$ et $(x',y') \in \Z^2$. On a $f( (x,y)+(x',y') ) =f( (x+x',y+y'))=3(x+x')+6(y+y')= 3x+6y + 3x'+6y'= f( (x,y)) +f((x',y'))$.
$f$ est bien un morphisme de groupes.
2) Déterminer le noyau de $f$ et montrer qu'il n'existe pas $(p,q) \in \Z^2$ tel que $\ker f = p \Z \times q \Z$.
On a $(x,y) \in \ker f \Leftrightarrow f ((x,y))=0 \Leftrightarrow 3x+6y=0 \Leftrightarrow x+2y=0 \Leftrightarrow x=-2y$
Donc $\ker f = \{ (-2y, y) \ | y \in \R \}$ enfin $\boxed{\ker f =(-2,1) \Z}$.
Pour la deuxième partie de la question, je ne vois pas.
Par l'absurde, s'il existe $(p,q) \in \Z^2$ tel que $(-2,1) \Z = p \Z \times q \Z$, ...
3) Montrer que le groupe quotient $\Z^2 / \Z(-2,1)$ est isomorphe au groupe $3 \Z $.
4) Soit $G$ le sous-groupe de $\Z^2$ engendré par $(2,0)$ et $(0,2)$. Montrer que le groupe quotient $\Z^2 / G$ est isomorphe à $\Z/2 \Z \times \Z / 2 \Z$.
1) Montrer que l'application $f : \Z^2 \longrightarrow \Z$ définie par $f(x,y)=3x+6y$ est un morphisme de groupes.
Soit $(x,y) \in \Z^2$ et $(x',y') \in \Z^2$. On a $f( (x,y)+(x',y') ) =f( (x+x',y+y'))=3(x+x')+6(y+y')= 3x+6y + 3x'+6y'= f( (x,y)) +f((x',y'))$.
$f$ est bien un morphisme de groupes.
2) Déterminer le noyau de $f$ et montrer qu'il n'existe pas $(p,q) \in \Z^2$ tel que $\ker f = p \Z \times q \Z$.
On a $(x,y) \in \ker f \Leftrightarrow f ((x,y))=0 \Leftrightarrow 3x+6y=0 \Leftrightarrow x+2y=0 \Leftrightarrow x=-2y$
Donc $\ker f = \{ (-2y, y) \ | y \in \R \}$ enfin $\boxed{\ker f =(-2,1) \Z}$.
Pour la deuxième partie de la question, je ne vois pas.
Par l'absurde, s'il existe $(p,q) \in \Z^2$ tel que $(-2,1) \Z = p \Z \times q \Z$, ...
3) Montrer que le groupe quotient $\Z^2 / \Z(-2,1)$ est isomorphe au groupe $3 \Z $.
4) Soit $G$ le sous-groupe de $\Z^2$ engendré par $(2,0)$ et $(0,2)$. Montrer que le groupe quotient $\Z^2 / G$ est isomorphe à $\Z/2 \Z \times \Z / 2 \Z$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
C'est de pire en pire @OShine ...😓
Donc $(p,q) \in (-2,1) Z$, il existe $k \in \Z$ tel que $(p,q)=(-2k,k)$.
De même, $(p,2q) \in (-2,1) \Z$ donc il existe $k' \in \Z$ tel que $(p,2q)=(-2k',k')$.
Mais je n'aboutis pas, ici je ne vois pas comment poursuivre.
$(-2,1) \Z$ est la droite d'équation $y=-0,5x$ à laquelle on retire tous les points de coordonnées non entières.
On a $(pq,pq) \in (-2,1) \Z$. Donc il existe $k \in \Z$ tel que $(pq,pq)=(-2k,k)$. Donc $pq=-2k=k$. Donc $k=0$. Donc $p=0$ ou $q=0$.
- Si $p=q=0$ c'est absurde car $(-2,1) \Z$ n'est pas réduit à $\{(0,0) \}$.
- Si $p=0$ et $q \ne0$ alors $(-2,1) \Z= \{ 0 \} \times q \Z$. Donc $(-2,1) \in \{ 0 \} \times q \Z$ soit $-2=0$ c'est absurde.
- Par symétrie la cas $q=0$ est le même que le précédent.
On a démontré le résultat.Puis on applique le théorème de passage au quotient.
4) Je sèche complètement.
Après si on veut être vraiment rigoureux il faudrait dire que non seulement $f$ est à valeurs dans $3\Z$ mais qu'on a carrément $f(\Z^2)=3\Z$.
Pour la 4) il y a la solution de NicoLeProf. Autrement on peut aussi procéder comme pour le 3) : chercher le morphisme qui fait l'affaire et passer au quotient : ici il n'y a pas vraiment le choix, il faut considérer le morphisme $\Z^2\to \Z/2\Z\times \Z/2\Z$ évident que je laisse expliciter...
J'ai expliqué pourquoi $f(\Z^2) \subset 3 \Z$. Réciproque, soit $u \in 3\Z$, il existe $n \in \Z$ tel que $u=3n$. On remarque que $u=f(n,0)$.
Donc $3 \Z \subset f(\Z^2)$. L'application est surjective donc le théorème de passage au quotient permet de conclure.
4) Rien compris à la technique de @NicoLeProf pour cette question. Pas compris comment tu trouves les classes et le reste m'a l'air bien compliqué, je ne vois pas le rapport avec la question.
Soit $g : \Z^2 \longrightarrow \Z/2 \Z \times \Z/2Z$ définie par $g(x,y)=(\bar{x},\bar{y})$.
$g$ est surjective par définition.
$(x,y) \in \ker(g) \Leftrightarrow g(x,y)=0 \Leftrightarrow \text{ x et y sont des multiples de 2}$
Donc $\ker g =\{ (2k,2k') \ | \ k,k' \in \Z \} = (2,0) \Z + (0,2) \Z$.
Ici j'ai un doute : $ (2,0) \Z + (0,2) \Z =G$? On sait que $G$ est le sous-groupe engendré par $(0,2)$ et $(2,0)$ mais je ne suis pas sûr qu'ils sont égaux ces ensembles.
Il est immédiat que $(2,0) \Z + (0,2) \Z \subset G$ pour montrer $G\subset (2,0) \Z + (0,2) \Z$ se rappeler que le groupe engendré est le plus petit sous-groupe contenant blablalba...
Je ne comprends pas ta technique, je ne vois pas où aller après avoir constaté que $(-2,1) \Z \subset -2 \Z \times \Z$. Ce qui donne $p \Z \times q \Z \subset -2 \Z \times \Z$ et après ?
@NicoLeProf
Toujours rien compris. Même pas compris le $(0,0) G = G$.
On voit bien que l'exercice veut nous faire utiliser le noyau et le théorème d'isomorphisme.
Je remarque dans tous les exercices que tu aimes bien les solutions compliquées et que tu ne vas jamais vers la solution simple.
@raoul.S
Merci !
- Montrons que $(2,0) \Z +(0,2) \Z \subset G$. Soit $(x,y) \in (2,0) \Z +(0,2) \Z$ alors il existe $k,k' \in \Z$ tel que $(x,y)=k(2,0)+k'(0,2)$.
Or $G$ contient $(0,2)$ et $(2,0)$ ainsi que toutes leur puissances (ici en notation additive) et les sommes de ces puissances donc $(x,y) \in G$.- Réciproquement, $(2,0)$ et $(0,2)$ appartiennent à $(2,0) \Z+(0,2) \Z$ et $G$ est le plus petit sous-groupe qui les contient donc $G \subset (2,0) \Z+(0,2) \Z$.
On a montré que : $\boxed{G=(2,0) \Z+(0,2) \Z}$.Comme $\ker g = G$ on a le résultat voulu.
Ton cerveau a des capacités pour trouver des trucs compliqués mon cerveau va vers les choses les plus simples.
Mais $(1,0) G$ n'a pas de sens ici les groupes sont additifs.
On écrit $(1,0) + G$. Mais perso je ne sais pas calculer $(1,0) +(2,0) \Z +(0,2) \Z$.
$(x,y) \in cl(1,0)$ si $(x-1,y) \in G$ soit si $x$ impair et $y$ pair.