Comparer deux sous-espaces vectoriels

Jojob

Bonjour !
On pose $E$ un $\mathbb K$-ev de dimension $3$,
On a $f\in\mathcal L(E)$ tel que $f^2 \neq 0$ et $f^3 = 0$.
On veut comparer $C = \{h\in\mathcal L(E)\mid h\circ f = f\circ h\}$ et $\text{Vect}(\text{Id}_E,f,f^2)$.

J'arrive à démontrer que $\text{Vect}(\text{Id}_E,f,f^2) = \mathbb K[f]$ et que $ \mathbb K[f] \subset C$.
Malgré tout, je ne sais pas si cela est vrai dans l'autre sens.

Nolive

Salut, 
Est-ce que tu connais la réduction de Jordan ? 

Jojob

@Nolive Non je connais pas ce que c'est. Mais je veux bien savoir !

JLapin

@Jojob
En prenant un vecteur $x$ tel que $f^2(x)\neq 0$, tu peux démontrer que $(x,f(x),f^2(x))$ est une base de $E$.

Ensuite, si tu prends $g$ qui commute à $f$, tu peux écrire $g(x)=ax+bf(x)+cf^2(x)$ et ensuite vérifier l'égalité d'endomorphismes $g=a Id+bf+c f^2$.

Par ailleurs, si tu écris la matrice de $f$ dans la base $(x,f(x),f^2(x))$ tu verras apparaitre la << réduction de Jordan >> de l'endomorphisme nilpotent $f$.

Jojob

@JLapin D'accord, je vois ! Je ne connaissais pas la réduction de Jordan mais elle semble être très importante. Merci beaucoup !

Math Coss

La réduction de Jordan est très importante mais ce n'est pas la peine de l'apprendre pour résoudre cet exercice...