Camembert

pappus

Meilleurs Vœux à tous

Les angles orientés étant maudits dans ce qui reste de notre enseignement quoique je ne vois pas très bien comment on peut s'en passer en Trigonométrie, n'oublions pas qu'il nous reste quand même les bienheureux angles camemberts et leurs mesures (au rapporteur) en ces bons vieux degrés!

La figure ci-dessous montre une parabole $\Pi$ de foyer $F$, deux cercles $\gamma$ et $\gamma'$ tangents entre eux au foyer $F$ et tangents à la parabole respectivement aux points $M$ et $M'$.

Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{MFM'}$ en fonction de $M$.

Amicalement

pappus

Ludwig

Bonsoir à tous,
Une construction de la figure : $M$ est un point de la parabole de foyer $F$ et de directrice $(d)$. On construit le centre $O$ du cercle $\gamma$ comme intersection de la normale en $M$ et de la médiatrice de $[MF]$. La droite $(MF)$ recoupe la parabole en $N$. La perpendiculaire à $(OF)$ passant par $F$ coupe la perpendiculaire à $(d)$ passant par $N$ en $S$. Le point $T$ est l'intersection de la tangente en $M$ avec la directrice. Alors $M'$ est un point d'intersection de la droite $(ST)$ avec la parabole.
Amicalement, Ludwig



On constate alors que l'angle $\widehat{MFM'}$ ne dépend pas de $M$ et vaut $120°$.

pappus

Merci Ludwig!

C'est une constatation faite par le logiciel ou bien en as-tu la preuve?

Il reste à nous expliquer d'où sort cette mirifique construction.

D'autre part ta droite $ST$ coupe la parabole en deux points!

Comment as-tu procédé pour faire le bon choix?

Amicalement et Meilleurs Vœux

pappus

Ludwig

Il n'y a pas besoin de choisir, l'autre intersection de $(ST)$ avec la parabole donne encore une solution ! Mais les cercles sont alors tangents intérieurement.
Il reste en effet à expliquer cette construction, je n'en ai pas la preuve. Je suis parti d'une construction très précise - suffisamment pour que le logiciel ne fasse pas la différence avec une construction exacte - construction obtenue grâce à un procédé convergent, puis j'ai cherché à lier les projections des points de base sur la directrice. 
Meilleurs voeux, Ludwig

pappus

Merci Ludwig

Oui je sais!

C'est ton merveilleux procédé de convergence qui n'appartient qu'à toi.

Je reconnais qu'il donne de bons résultats quand il veut bien marcher!

Mais ce n'est pas une démonstration!

Donc on a encore du pain sur la planche!

Amicalement

pappus

pappus

Bonjour à tous

Voici la figure complète à justifier

C'est l'exercice n°639 du Wolstenholme c'est à dire un problème donné lors des Tripos dans les années 1840-1850.

Peut-être que Maxwell ou Cayley s'y sont-ils frottés?

Amicalement

pappus

pappus

Bonjour à tous
Un début de piste et un tout tout petit espoir pour les trisecteurs indomptables du forum!
Amicalement
pappus

cailloux

Bonjour
Quelques camemberts avec des triangles isocèles et des angles alternes-internes. Finalement $\dfrac{2}{3}\,180=120$

Me voilà donc trisecteur patenté.
Amitiés.

pappus

Merci Cailloux
J'adore ton camembert !

Mais si on n'aime pas le camembert et qu'on préfère les angles orientés (faut être maso !), voici ci-dessous la figure à justifier.

Amitiés

pappus

cailloux

Merci pappus !

J'ai mis un "certain temps" comme aurait dit le regretté Fernand Raynaud, à comprendre que ton exercice, hormis certaines minuscules connaissances sur la parabole, était de niveau collège.

Ceci dit, j'ai manqué de souffle ; j'aurais mieux fait d'écrire :

Finalement : les deux tiers d'un demi camembert sont le tiers dudit camembert.

Amitiés d'un tout nouveau trisecteur.