La convergence de $AB_n$ implique-t-elle la convergence de $B_n$ ?

Jojob

On pose $A\in M_n(\mathbb K)^*$ et $(B_n)_{n\in\mathbb N}\in M_n(\mathbb K)^{\mathbb N}$.

Je veux savoir si cette implication est vraie : $\exists L\in M_n(\mathbb K)^*, AB_n \to L$ alors $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ converge.
Les cas, où $A$ ou $L$ sont la matrice nulle, sont des situations où cela ne va pas marcher donc on les exclut.

Si $A\in GL_n(\mathbb K)$ alors l'implication est vraie. Je voulais savoir si la propriété pouvait s'étendre.

J'ai pensé au fait que $GL_n(\mathbb K)$ est dense dans $M_n(\mathbb K)$ mais je ne vois pas si cela me serait utile.

J'ai essayé de chercher des contre-exemples mais je bloque. Je doute que l'implication soit vrai.

Bibix

Bonjour,
Prendre par exemple $B_n = \begin{pmatrix} (-1)^n & (-1)^{n} \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Jojob

Ah merci @Bibix ! Je n'arrivais pas à trouver une bonne suite $B_n$. Merci beaucoup !

Poirot

En fait ça ne marchera pour aucune matrice $A$ non inversible. On prend un vecteur $X$ non nul de son noyau et on prend $B_n$ construite par colonnes de la manière suivante $\left(\begin{array}{c|c|c|c} (-1)^n X & 0 & \dots & 0\end{array}\right)$.

Jojob

Okay je vois ! Merci ! @Poirot

etanche

@ Jojob question à garder pour une fin de colle merci.