Composée d'exponentiation dans un groupe
On se donne un groupe $G$ et on se donne $a\in G$ et $m,n\in \mathbb N$, on se propose de montrer que $(a^m)^n=a^{m*n}$
Rmq Remarque : je tire cet exercice du dernier fil de @OShine, la preuve qu'il a donnée n'étant pas valide, je propose qu'on donne une bonne preuve ici.
Rmq Remarque : je tire cet exercice du dernier fil de @OShine, la preuve qu'il a donnée n'étant pas valide, je propose qu'on donne une bonne preuve ici.
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Réponses
Pour éviter l'écriture $\underbrace{x\cdots x}_{n\text{ fois }}$ qui n'est pas "politiquement correcte" on peut utiliser une récurrence.
@raoul.S oui c'est ce $x$ n fois qui commence la mauvaise pente de la démo.
Je n'avais pas lu la réponse "catégorique" de Thierry Poma
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Remarque: C'est vrai que dire $a\in G$ n'est pas rigoureux, mais je voulais juste écrire rapidement et comme tout le monde écrit comme ça...la plupart des gens ont du mal à me tolérer quand je suis formel à 100% c'est pourquoi j'ai tendance à m'autocensurer.
Soit $L$ le langage des groupes, soit $(G,\iota)$ un groupe, soit $a\in G$, soit $n\in \mathbb N$, $a^{n+1}$ est l'interprétation dans $(G,\iota)$ du terme paramétré $(n,\bigcup \{L,G\},\{(k,\star)\vert k\in n\}) \square (n+1,\bigcup \{L,G\},\{(k,a)\vert k\in n+1\})$.
Ou si on ne veut pas de termes paramétrés, on considère les deux variables fonctionnels $x$ et $y$ distinctes et d'arité $1$, on définit la formule $((y=(n,L,\{(k,\star)\vert k\in n\}) \square (n+1,L,\{(k,x)\vert k\in n+1\})),(x,y))$. Cette formule définit une fonction définissable $h$, pour tout $b\in G$, $h(b)$ est ce que nous appelons $b^{n+1}$ d'habitude.
@Dom on définit $\Pi _{(G,\iota)}$ comme le prolongement de l'identité de $G$ en morphisme de monoïdes du monoïde libre de base $G$ vers le monoïde sous-jacent à $(G,\iota)$.
Encore merci à @Thierry Poma, démonstration très élégante.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Et bien-sûr $a^0:=e$
J'avais écris une démonstration qui avait un petit problème et le fait d'utiliser ce langage a résolu le problème, mais j'ai déjà effacé la démonstration 😓
Remarque: le passage par $H_b$ est inutile car $H_b$ est essentiellement $\mathbb Z$.