Estimateurs moindres carrés et cvg en loi de va

LeVioloniste

Voilà je cherche cet exo.

Il fait du mélange va discrète et va à densité.

1. Déjà les moments dans mes cours ont des ordres.

Par exemple Si $X$ est une va, le moment d'ordre $r$ est $\mathbb{E}[X^r]$.

Ici je comprends qu'on cherche l'espérance d'un produit $\mathbb{E}[X_1.Z_1]$. Pas forcément d'ordre $r$.

Par indépendance de $X_1$ et $Z_1$ ,  $\mathbb{E}[X_1.Z_1]= \mathbb{E}[X_1]. \mathbb{E}[Z_1]$.

donc $\mathbb{E}[X_1.Z_1]=m.\mu$.

Que vaut $\mathbb{E}[(X_1.Z_1)^r]$ ? Est-ce la question ? Je pense qu'on ne peut rien calculer car sur $X_i$ on ne connaît pas la densité.

$\mathbb{E}[(X_1-m).Z_1]=\mathbb{E}[(X_1.Z_1-m.Z_1)=(m-m).\mu=0$.

2a.

On veut trouver un estimateur de $a$ avec $X_i=a.Z_i+U_i$

Pour cela avec les moindres carrés on minimise la fonctionnelle $EQ(a,b)=\sum_{i=1}^{i=n} (X_i-a.Z_i-b)^2$.

Oui ou non ?

Ici $b=0$. Je trouve $a=\frac{\overline{X}}{\overline{Z}}$ en différenciant par rapport à $a$.