Séparabilité de $\mathcal C(X,\C)$
Bonjour
Je suppose que X est un espace topologique compact sans savoir si cette hypothèse va servir dans ce qui suit.
Je suppose que X est un espace topologique compact sans savoir si cette hypothèse va servir dans ce qui suit.
On considère la distance de la convergence uniforme.
J'aimerais savoir pourquoi si C(X,R) est séparable cela implique que C(X,K) K désignant l'ensemble des complexes et R les réels.
En vous remerciant
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Réponses
En effet cet ensemble est dénombrable dense. Je me pose la question de savoir ce que veut dire dénombrable car pour des auteurs
" dénombrable " est remplacé par " au plus dénombrable ". Ceci exigerait donc d'examiner le cas fini à moins que le cas fini entraîne le cas dénombrable au sens ou tu l'entends.
Par ailleurs J'aimerais savoir pourquoi la notion d'homéomorphisme permet par transport de structure de conserver toutes les propriétés topologiques car il m'est difficile de cerner la notion de propriété topologique. Cela semble moins évident qu'en algèbre avec la notion d'isomorphisme.
Je te souhaite un joyeux noël en te remerciant de m'avoir apporté si souvent tes lumières.
En topologie un homéomorphisme va préserver ce qui fait la structure d'un espace topologique, c'est-à-dire l'ensemble de ses ouverts avec ses opérations union et intersection. Par suite si tu as deux espaces topologiques $(X,\mathcal{T}_X)$ et $(Y,\mathcal{T}_Y)$ et un homéomorphisme $\phi : X\to Y$ alors $\phi$ induit une bijection entre ouverts de $X$ et ouverts de $Y$ via l'application $\mathcal{T}_X\to \mathcal{T}_Y, O\mapsto \phi(O)$.
De plus les opérations sont aussi préservées : pour toute famille d'ouverts $(O_i)$, $\phi(\bigcup_I O_i)=\bigcup_I \phi(O_i)$ et $\phi(O_1\cap O_2)=\phi(O_1)\cap \phi(O_2)$.
Tout ceci fait que tu peux considérer $(Y,\mathcal{T}_Y)$ comme étant l'espace $(X,\mathcal{T}_X)$ dans lequel on a renommé les éléments, bref c'est "le même espace".
Merci pour ton explication.
Je te souhaite un joyeux Noël.