Lemme d'Urysohn

LoloDJ

Bonjour
Je suis tombé sur deux versions différentes du lemme d'Urysohn.

1) L'une prend pour hypothèse un espace topologique X, séparé et T4 et deux fermés F et F' disjoints. Dans ce cadre, le lemme affirme l'existence d'une fonction continue sur X, à valeurs dans [0,1] prenant la valeur 0 sur F et 1 sur F'.

2) La seconde énonciation du lemme prend pour hypothèse un espace topologique X, séparé et localement compact, V un ouvert de X et K un compact inclus dans V. Dans ce cadre le lemme affirme l'existence d'une fonction continue sur X à support (ensemble des x tels que f(x) est non nul) compact, à valeurs dans [0,1], prenant la valeur 1 sur K et dont le support est inclus dans V.

Comment rabiboche-t-on ces deux versions ?
Est-ce que pour un espace séparé, il est équivalent de dire qu'il soit T4 ou localement compact ?

Manda

Salut, on montre 2) à partir de 1), en utilisant le fait notamment que les espaces compacts vérifient l'axiome T4. Par contre, les espaces localement compacts ne sont en général pas T4 ( Wikipédia mentionne la 'planche de Tychonoff épointée' comme contre-exemple).