Exercices oraux 2022 ENS/X/MinesPonts/Centrale de la RMS
Bonjour
https://www.rms-math.com/images/stories/documents/exos-etoiles-2022-RMS.pdf
Pour commencer résoudre le 94 et 348
Merci
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Réponses
En revanche, je conseille le 130 qui peut être résolu élégamment.
Les cas $k=3$ et $k=4$ se traitent aussi avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz (utilisée $8$ fois pour le cas $k=4$).
J'espère qu'il y aura une jolie réponse dans le volume 3 de la RMS...
https://www.math.uci.edu/~rvershyn/papers/golden-thompson.pdf
https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.2307/2323918/fulltext.pdf
Le 49 b) c’est le Pfaffien.
a) $C^\infty$ est une algèbre commutative ; cela plaide en effet pour une réduction commune des matrices images (mais co-diagonalisables ?).
b) Si $M$ est l'image de l'identité de $C^\infty$ et $\mu$ son polynôme minimal, alors le polynôme $\mu$ est dans le noyau et admet donc des zéros réels.
c) Le polynôme $\mu$ est scindé car, s'il a un facteur irréductible $P_0$ de degré $2$, alors $P_0(M)$ est inversible, ce qui est absurde.
d) En voici un qui n'est pas tout à fait de la forme conjecturée par MrJ, pour $n=2$ : à $f$ on associe $\begin{pmatrix}f(0)&f'(0)\\0&f(0)\end{pmatrix}$
En fait, il doit rester à montrer proprement que toute fonction $f$ s'écrit $F+\mu\cdot g$, où $F$ est un polynôme et $g$ une fonction $C^\infty$ (ici, $F$ résulte d'une interpolation avec dérivées, ce que j'appelle interpolation de Lagrange-Sylvester).
Oui, c'est bon : l'existence de $F$ est un exo classique et celle de $g$ se fait par récurrence sur le degré de $\mu$ (cf les remarques de JLapin et de votre serviteur).
Moralité : toute fonction $f$ a même image que $F$, c'est-à-dire $F(M)$, sachant que $F$ s'exprime à l'aide des dérivées $f^{(\ell)}(a_k)$, où $a_k$ est un zéro de $\mu$ et où $\ell$ est strictement inférieur à la multiplicité d'icelui. Il y a encore de quoi bosser un peu...
Quant au 53, il est traité dans Réduction des endomorphismes (Mneimné), p.91.
On montre qu'il existe $Q$ inversible, $a_1,\ldots,a_r\in \R$ et $m_1,\ldots,m_r\in\N^*$ tels que $\forall f$, $\varphi(f)=Q\mathrm{diag}(J_{m_1}(a_1),\ldots,J_{m_r}(a_r))Q^{-1}$.
1) Soit $f\in C^\infty(\R,\R)$. Si $P$ est un polynôme sans racines réelles, alors $P(f)$ ne s'annule pas sur $\R$, donc est inversible. Par conséquent, $P(\varphi(f))$ est inversible, ce qui montre que le spectre de $\varphi(f)$ est réel.
2) Soit $f_0(x)=x$. Pour tout $f$, les espaces caractéristiques de $\varphi(f)$ sont stables par $\varphi(f_0)$. On se ramène donc au cas où $\varphi(f_0)$ a un seul espace caractéristique.
3) Soit $a$ la valeur propre de $\varphi(f_0)$. Soit $f_1=f_0-a$.
Pour tout $f$, soit $P_f(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$. Il existe $h\in C^\infty(\R,\R)$ tel que $f=P_f+(x-a)^nh$.
On a alors $\varphi(f)=P_f(\varphi(f_0))$.
4) On conclut d'après la réduction de Jordan.
Si $P_n(X)=\sum\varepsilon(\sigma)X^{\nu(\sigma)}$, on a facilement la relation $P_{n+1}=XP_n+\sum_{k>0}(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!}P_{n-k}$. Pour $X\in[0,1]$ fixé, la série entière $S(t)=\sum\frac{P_n(X)}{n!}t^n$ a un rayon de convergence $\geqslant1$ et est solution de l'EDO $y'=(X-1)y+\displaystyle\frac y{1+t}$, d'où $S(t)=(1+t)\exp((X-1)t)$ et donc $P_n(X)=(X-1)^{n-1}(X+n-1)$ et d'où la somme attendue $\displaystyle\int_0^1P_n(x){\rm d}x=(-1)^{n+1}\frac n{n+1}\cdot$
Peut-être est-ce plus simple si l'on passe directement par la série génératrice de la famille $\Big(Q_n(X)=\displaystyle\int_0^XP_n(x){\rm d}x\Big)$ ; je n'ai pas essayé.
On demandait d'abord de calculer le déterminant de la matrice $J=(x-1)I_n+E$ (avec les notations de LOU16) puis d'en déduire le calcul de $\displaystyle \sum_{\sigma\in \mathfrak S_n}\dfrac{\varepsilon(\sigma)}{\nu(\sigma)+1}$.
On obtient $\det(J)=\displaystyle \sum_{\sigma\in \mathfrak S_n}\varepsilon(\sigma)x^{\nu(\sigma)}=(x+n-1)(x-1)^{n-1}$.
Il suffit ensuite d'intégrer sur $[0,1]$ avec une IPP pour obtenir le résultat.
Edit : j'ai corrigé l'expression incorrecte de $J$ grâce à la remarque de MrJ que je remercie.
Il y a quatre solutions de ce problème voir page 6 https://kskedlaya.org/putnam-archive/2005s.pdf
la solution de Richard Stanley est très intéressante.
Se pourrait-il que j'ai donné la bonne réponse à la mauvaise question ?
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Je ne vois pourquoi on peut se ramener à A nilpotent.
Le nombre complexe $i$ de $A+iB$ est inutile dans cet exercice.