Comparaison de lois
Bonjour,
j'ai un exercice que je trouve original.
j'ai un exercice que je trouve original.
a) Soient 2 va X,Y à valeurs positives et indep. $Y$ suit la loi $Exp(\lambda)$.
On veut montrer que $\mathbb{P}(Y>X)=\mathbb{E}(e^{-\lambda.X})$.
On veut montrer que $\mathbb{P}(Y>X)=\mathbb{E}(e^{-\lambda.X})$.
Je ne vois pas d'autres idées que d'utiliser la fx indicatrice :
$\mathbb{1}_{ \{w \in \Omega\mid Y(w)>X(w )\}}$. En intégrant par rapport à t avec $t=e^{-\lambda.X}$ et en intégrant par rapport à la proba.
Par rapport à la proba : $\mathbb{1} _{\{w \in \Omega\mid e^{-\lambda.Y} < t , \ t=e^{-\lambda.X} \}} $
Par rapport à t : $\mathbb{1} _{\{0 \leq t \leq e^{-\lambda.X}\mid e^{-\lambda.Y} < t \}}$
$\mathbb{1}_{ \{w \in \Omega\mid Y(w)>X(w )\}}$. En intégrant par rapport à t avec $t=e^{-\lambda.X}$ et en intégrant par rapport à la proba.
Par rapport à la proba : $\mathbb{1} _{\{w \in \Omega\mid e^{-\lambda.Y} < t , \ t=e^{-\lambda.X} \}} $
Par rapport à t : $\mathbb{1} _{\{0 \leq t \leq e^{-\lambda.X}\mid e^{-\lambda.Y} < t \}}$
b) Ensuite on demande à partir de trois lois à valeurs positives $X_1$, $X_2$, $Y$ avec $Y$ suit la loi $Exp(\lambda)$ de calculer $\mathbb{P} (Y>X_1+X_2)$ en fonction de $\mathbb{P}(Y>X_1)$ et $\mathbb{P}(Y>X_2)$. Et là pas d'idées.
Je voudrais comparer les ensembles $\{ Y>X_1+X_2 \}$ avec $\{Y>X_1\}$ et $\{Y>X_2\}$, mais je n'aboutis pas.
Réponses
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Hello, pourtant, la même technique de la Q1 fonctionne.
Tu obtiens à la fin $P(Y > X_1)P(Y > X_2)$. -
Bon je vais voir.
Vous seriez rédiger la question 1 ?
J'ai des doutes sur la rigueur de ma méthode ... -
Oui pour la Q1 : (on suppose toutes les v.a indépendantes évidemment)
$P(Y > X) = \int_{R^+} \int_x^{\infty} \lambda e^{-\lambda y}dy dP_X(x) = \int_{R^+}e^{-\lambda x} dP_X(x) = E[e^{-\lambda X}]$ -
Pour la 2ème question : Si $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes, comment justifier que $X_1$ et $X_1+X_2$ sont indépendants ?A-t-on un théorème avec les fonctions.
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C'est faux, et c'est pas ça qu'il faut utiliser
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Ok je reprends :$\mathbb{P}(Y>X_1+X_2)=\mathbb{E}(e^{-\lambda.(X_1+X_2)})=\mathbb{E}(e^{-\lambda.X_1}e^{-\lambda.X_2})=\mathbb{E}(e^{-\lambda.X_1})\mathbb{E}(e^{-\lambda.X_2})=\mathbb{P}(Y>X_1)\mathbb{P}(Y>X_2)$.Aussi simple que cela ?
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Pour la $Q_1$ vous dites $\mathbb{P}(Y>X)=\int_\mathbb{R^+} \mathbb{P}(Y>x) d\mathbb{P}_X(x)$. Cela est-il évident ?
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LeVioloniste a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2398773/#Comment_2398773Aussi simple que cela ?
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