Probable coupure du forum samedi 17/12

Calli

Bonjour,
Il y aura une coupure de courant générale demain à Ulm pour raisons d'entretien. Tous les sites hébergés par l'établissement seront suspendus, donc certainement le forum aussi. Ç'aura lieu de 7h à 14h30 au moins.

Math Coss

Catastrophe ! Qu'allons-nous devenir ? 

Médiat_Suprème

Enfin 7h30 sans erreur 504 

gerard0

Merci d'avoir prévenu.
Cordialement.

gebrane

 Qu'allons-nous devenir ?      Dormir jusqu'à  14h30.

Fin de partie

Faites provision de problèmes pour tenir jusqu'en fin d'après-midi du 17/12.

Si le manque est trop grand, sortez vous aérer.

Math Coss

Quoi ? Tu veux dire dehors, et tout ?

gebrane

Fin de partie a dit :

Faites provision de problèmes pour tenir jusqu'en fin d'après-midi 

Provision1 (inédit) Démontrer que $\displaystyle \min _{\left|z\right|=1}\left|\sin \ z\right|=\sin(1)$
Provision2 (inédit) Démontrer que $\displaystyle\int _0^{\infty }\frac{\sin (x^2)}{x\sqrt{x}}dx= 2 \sin(\pi/8) \Gamma(3/4)$.

jelobreuil

Merci, Calli, d'avoir prévenu !

JLB

Sato

C’est où,  l’autre forum où lire OS ?

Fin de partie

Les coupures interviennent quand le téléphone portable qui héberge le serveur est éteint.

raoul.S

🤣

julian

Os ? Jamais entendu parler... 

marco

Provision 1.

On veut montrer que $|\frac{e^{a+ib}-e^{-a-ib}}{2i}|\geq \sin(1)$ quand $a^2+b^2=1$ avec $a,b \in \R$. Cela revient à montrer $|e^{a+ib}-e^{-a-ib}|^2=e^{2a}+e^{-2a}-e^{2ib}-e^{-2ib}\geq 4\sin^2(1)$ c'est-à-dire $e^{2a}+e^{-2a}-2\cos(2b)\geq 4 \sin^2(1)$ (inégalité $(1)$). On peut supposer $a$ et $b$ positifs, car $x \mapsto e^x+e^{-x}$ et $\cos$ sont paires. On paramètre l'arc de  cercle $a^2+b^2=1$ avec $a$ et $b$ positifs par $a=\sin t$, $b=\cos t$ où $t\in [0, \pi/2]$. On a donc $2a'a+2b'b=0$ en dérivant $a^2+b^2=1$. On a égalité dans $(1)$ en $t=0$, car alors $a=0,b=1$ et $2-2\cos(2)=2(1-\cos^2(1)+\sin^2(1))=4\sin^2(1)$. On dérive par rapport à $t$ le membre de gauche de $(1)$. On trouve $d(t):=2a'(e^{2a}-e^{-2a})+4b'\sin(2b)$. Et comme $a\geq 0$, $\sinh(2a)\geq 2a$, donc $d(t)\geq 8a'a+4b'\sin(2b)$. Or $b'\leq 0$, et $\sin(2b)\leq 2b$, car $b$ positif. Donc $4b' \sin(2b)\geq 8b'b$, donc $d(t)\geq 8a'a+8b'b=0$. Donc on a bien l'inégalité $(1)$.

nicolas.patrois

julian a dit :

Os ? Jamais entendu parler... 

Parce que tu n’as jamais lu Le Banni (de Coucho).

gebrane

Joli marco . Question si j'avais caché le résultat comment arriver à ce min ?

Sato

Vivants !... Nous sommes vivants !!

Dom

Voilà j’ai enfin retrouvé les erreurs habituelles !!!

manu

Je n'avais pas vu ton message @Cali .
Si j'avais su pour cette coupure, j'aurai pris les devants. En tout cas, le serveur hébergeant le site n'a pas été éteint proprement et la base de données ce matin était corrompue.

Calli

Ah désolé @manu, j'aurais peut-être dû prévenir plus tôt, car je suis au courant depuis plus d'une semaine. Mais je pensais surtout à éviter aux membres d'essayer de se connecter pendant des heures pour rien (ce qui ne nécessite pas de prévenir longtemps à l'avance, au contraire). Je suis étonné que ç'ait fait des soucis car le service informatique disait dans son mail qu'il éteindrait les serveurs 1h30 avant la coupure de courant (qui a eu lieu à 8h30 en fait), donc pas n'importe comment en principe. Le principal c'est que le site fonctionne à présent. Merci pour le travail. 

jean lismonde

Bonjour

je viens apporter une démonstration de l'intégrale numérique proposée plus haut par notre ami Gebrane 

$I = \int_0^{+\infty}\frac{sin(x^2)}{x\sqrt{x}}dx=2sin\frac{\pi}{8}.\Gamma(\frac{3}{4})$

l'intégrale converge sur la borne supérieure
car une primitive de $\frac{1}{x\sqrt{x}}$ converge elle-même pour x infinie
et sur la borne inférieure $\frac{x^2}{x\sqrt{x}}$ est équivalent à $\sqrt{x}$ qui tend vers zéro

pour le résultat numérique on part de l'intégrale connue : 
$\int_0^{+\infty}t^x.sint.dt= sin\frac{\pi}{2}(x+1).\Gamma(x+1)$ pour x > - 2

dans l'intégrale de Gebrane on change la variable d'intégration : soit $x^2 = u$ avec u > 0
soit $I = \frac{1}{2}\int_0^{+\infty}u^{-\frac{5}{4}}sinu.du = \frac{1}{2}sin\frac{\pi}{8}(-\frac{1}{4}).\Gamma(-\frac{1}{4})$

or $\Gamma(\frac{3}{4})= -\frac{1}{4}\Gamma(-\frac{1}{4})$ soit $\Gamma(-\frac{1}{4})=- 4\Gamma(\frac{3}{4})$ 

et donc $I = 2sin\frac{\pi}{8}.\Gamma(\frac{3}{4})=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\pi\sqrt{2\pi}}{\omega}} = 0,937893....$

avec $\omega$ la constante de la lemniscate = 1,311029....

Cordialement

 

manu

Salut @cali je ne râlais pas contre toi! Désolé si tu as pu le penser. L'essentiel est que tout remarche bien en effet mais j'ai eu hier un bon coup de stress.

Dom

On n’imagine pas l’engagement de vous tous. Ça me donne l’occasion de vous remercier 😀

Calli

Non, t'inquiètes @manu, je n'avais pas mal interprété ton message. 

JLT

Pour l'exercice 1 de gebrane, soit $f(z)=\sin z$. On cherche les extrema de $f(z)\overline{f(z)}$ sur le cercle unité. On doit avoir $\mathrm{Re}(f'(z)\overline{f(z)}dz=0$ où $dz=izdt$ en paramétrant le cercle par $z=e^{it}$. L'équation devient $\mathrm{Im}\,(z\cos z\sin\bar{z})=0$ c'est-à-dire $\mathrm{Im}\,(z(\sin(z+\bar{z})-\sin(z-\bar{z}))=0$. Posons $z=x+iy$, l'équation devient $x\,\mathrm{sh}\,2y=y\sin 2x$. Si $x$ et $y$ sont non nuls on a $\frac{ \mathrm{sh} (2y) }{2y}>1>\frac{\sin(2x)}{2x}$ donc l'égalité ci-dessus n'est pas vraie. Il suffit alors de tester $z=\pm 1$ et $z=\pm i$. Comme $|f(1)|=|f(-1)|<|f(i)|=|f(-i)|$, la fonction $z\mapsto |f(z)|$ restreinte au cercle unité atteint son maximum en $\pm i$ et son minimum en $\pm 1$.

jelobreuil

@manu, @Calli, et les autres,

Merci pour tout le travail que vous accomplissez chaque jour !

Bien amicalement, JLB