Connexité et théorème des valeurs intermédiaires

Caushy99

Bonjour,
Soient E un espace topologique et f défini de E vers R(ensemble des réels).
J'ai déjà montré que si E est connexe et pour f continue alors f vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
Je dois à présent prouver  si pour toute fonction continue sur E vérifiant le théorème des valeurs intermédiaires,alors E est connexe.
J'ai besoin d'indication car je ne sais par quoi où commencer pour aboutir à la  connexité de E.
Merci d'avance.

john_john

Bonjour,
tu peux conclure par contraposition : si $E$ admet une partition en deux ouverts non vides, construis une application continue de $E$ dans $\R$ qui ne satisfasse pas le TVI.

gerard0

Bonjour.

La contraposée semble plus simple : E n'étant pas connexe, on peut trouver une fonction continue qui ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires (par exemple qui ne prend que 0 et 1 comme valeurs). Vois-tu comment le prouver ?

Cordialement.

Caushy99

Oui je vois mais une idée de la fonction s'il vous plaît...

Caushy99

@gerard0

rémi

Suis l'indication de Gérard, il te propose de prendre une fonction qui ne prend que 0 et 1 comme valeurs. Prends-en une et vois ce que cela donne.
Rédige et présente.

raoul.S

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_caractéristique_(théorie_des_ensembles)

gerard0

Caushy99,

traduis la propriété "E n'est pas connexe". Ça donne ...

Caushy99

Merci vraiment .
Je viens  de la terminer grâce à vous.