Interprétation géométrique du transport parallèle - dérivée covariante

jippy13

Bonjour amis des maths
Je suis à la recherche d'une interprétation géométrique du transport parallèle d'un vecteur V le long d'une courbe gamma sur une surface S dans R3.

J'ai lu plusieurs interprétations mais jusqu'à présent, je n'arrive pas à lier une interprétation avec le fait que la dérivée covariante du vecteur le long de gamma doit être nulle. C'est-à-dire que dV doit avoir une composante tangentielle nulle sur le nouveau plan tangent TM', ou bien que V' (transporté de V dans TM') doit être le projeté orthogonal de V sur TM' (M' étant le point voisin infinitésimal de M).

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer cela simplement avec un schéma ?

PS : je parle transport au sens de connexion Levi-Civita.

jippy13

Je voudrais étayer ma question à l'aide d'un graphique que j'ai réalisé (voir ci-dessous).

Les 2 plans tangents TM et TM' se coupent selon la droite vert fluo.
Les points M et M' appartenant respectivement aux plans tangents TM et TM' sont voisins.
Le vecteur à transporter dans le plan TM' avec comme point d'appli O appartenant aux 2 plan est le vecteur OM.
Pour que le transport soit exact au sens de Levi-Civita., on plit le plan TM en O selon l'axe vert fluo et on regarde l'image du vecteur OM qui est OM'.
On peut constater sur le schéma que OMM' forme un cone de sommet O est de génératrice [OM].

Normalement M' doit être le point image de M dans le nouveau plan tangent, mais la dérivée covariant nulle implique que le point N' projeté orthogonal de M sur TM' est celui qui représentera le vecteur transporté car $\vec{ON'}- \vec{OM}$ est un vecteur orthogonal à TM'.

Alors ma question est de savoir pourquoi choisir N' (qui assure une différence de vecteurs orthogonale, ou dérivée covariante nulle) plutôt que M' qui est vraiment le point transporté au sens de Levi-Civita.

J'espère avoir été clair

Foys

Soit $I$ un intervalle, $S\subseteq \R^3$ une surface et $\gamma: I \to S$ une géodésique de $S$. Soit $f:I \to \R^3$ une fonction telle que pour tout $t$, $f(t) \in T_{\gamma(t)}S$. Alors $f$ est un vecteur transporté parallèlement le long de $\gamma$ si et seulement si $t \mapsto \| f(t) \|$ et $t\mapsto \langle \gamma'(t), f(t)\rangle$ sont des fonction constantes.

Cette propriété se généralise à des "lignes brisées" dans $S$ (fonctions continues et géodésiques par morceaux).

L'idée est qu'un vecteur qui subit un transport parallèle est un vecteur "qu'on ne voit jamais dévier lorsqu'on est dans $S$ et qu'on se promène le long de la courbe".

Pour les courbes plus générales ($C^1$ par morceaux mettons: soient $a<b\in \R$, $I:= [a,b]$. On notera pour toute partie $A$ de $\R^3$, $C^1_{pm}(I,A)$ l'ensemble des fonctions $f$ $C^1$ par morceaux de $I$ dans $\R^3$,bornées, de dérivées bornées ettelles que $f(I)\subseteq A$), l'application $\mu,\nu: C^1_{pm} (I, S) \mapsto \|\mu-\nu\|_{\infty} + \|\mu'-\nu'\|_{\infty}$ est une distance pour laquelle les lignes brisées forment un ensemble dense dans $C^1_{pm} (I, S) $ et pour laquelle , pour tout $v\in T_{\gamma (a)} S$, l'application qui à $\gamma \in C^1_{pm} (I, S) $ fait correspondre l'unique élément de $T_{\gamma(b)} S$ obtenu à partir de $v$ par transport parallèle le long de $\gamma$, est continue. Cette application est en fait même uniformément continue (ce qui ouvre la possibilité de définir le transport parallèle sur les surfaces d'abord par des lignes brisées puis de l'étendre par densité).

Exemple : dans la Chine médiévale les gens avaient inventé une "boussole mécanique". Il s'agit d'une statue d'un soldat au bras tendu, sur un chariot. Elle est montée sur un système de différentiel qui fait que quand le chariot tourne à gauche, le soldat tourne vers la droite avec le même angle, l'idée étant que le bras du soldat montre "toujours le nord". Outre les problèmes de jeu mécanique cette boussole ne peut pas fonctionner ailleurs que sur une surface plate. En fait le bras du soldat accomplit un transport parallèle le long du trajet du chariot et après une trajectoire fermée, il a fait un angle qui se calcule avec la courbure totale de la surface entourée par son trajet (se placer sur une sphère et parcourir un grand triangle géodésique pour voir ce qui se passe).

Pour les interprétations en dimension plus grande, consulter V.I. Arnold: mathematical methods of classical mechanics.

https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-1693-1

jippy13

Un grand merci @Foys pour ta réponse et ton attention.
Malheureusement, je souhaite une interprétation géométrique de la dérivée covariante et une comparaison avec celle que j'ai lue  venant de Levi-Civita.
Je m'explique, en se plaçant simplement dans $\R^3$ avec une surface $S$ (exemple une sphère).
1-D'un côté on a la définition du transport parallèle d'un vecteur $v(t)$ le long d'une courbe, qui dit que sa dérivée covariante est nulle, ce qui pour moi signifie que la variation du vecteur d'un plan tangent  $T_{\gamma (t)} S$ à son voisin infinitésimal dans $\R^3$ est un vecteur normal au nouveau plan tangent $T_{\gamma (t+dt)} S$ soit $v(t+dt)-v(t)$ dans $\R^3$ est orthogonal à $T_{\gamma (t+dt)} S$.
2- D'un autre, Levi-Civita, nous dit que le nouveau vecteur  $v(t+dt)$  est colinéaire à $v(t)$ une fois que l'on "met sur le même plan", càd que l'on aligne les 2 plans  $T_{\gamma (t)} S$ et  $T_{\gamma (t+dt)} S$ (un peu comme si l'on défroissait une feuille de papier). C'est la notion de développée évoquée par Levi-Civita.
Si l'on regarde mon schéma, l'interprétation 1 me donne le point $N'$ dans $T_{\gamma (t+dt)} S$ ( $\vec{ON'}  = v(t+dt)$, et l'interprétation 2 me donne $M'$ sur le schéma ( $\vec{OM'}= v(t+dt)$). 

Pour mieux comprendre, la situation, de l'interprétation 2 voir le transport parallèle suivant le long d'une sphère (voir les 2 schémas ci-joints) issu du post ici .
Quelqu'un pourrait-il éclairer ma lanterne, ou bien me dire où se situe mon erreur de raisonnement ou me donner une piste ?